Un jeu consiste à tirer n billes d'un sac contenant 300 billes noires et 100 billes blanches. On note f la fréquence des billes noires observées à la fin du tirage de taille n .
Que vaut la proportion du nombre de billes noires p ?
Soit N le nombre de billes.
Donc N= 300 + 100 = 400 .
Or, p = \dfrac{\text{nombre de billes noires}}{N} = \dfrac{300}{400} = \dfrac{3}{4} .
Donc p = \dfrac{3}{4} .
Quel est l'intervalle de confiance au seuil de 95 % au programme et associé à la fréquence observée f pour un échantillon donné de taille n si n > 20 et 0{,}2 < p < 0{,}8 ?
D'après le cours, l'intervalle de confiance au seuil de 95 % au programme et associé à la fréquence observée f pour un échantillon donné si n > 20 et 0{,}2 < p < 0{,}8 est :
IC = \left[ f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]
Quelle taille d'échantillon choisir pour avoir un intervalle de confiance de largeur 0,2 ?
On sait que :
IC = \left[ f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]
La largeur de l'intervalle de confiance est donc \left( f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right) - \left( f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{n}} .
On souhaite avoir :
\dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0{,}2
\Leftrightarrow \sqrt{n} = \dfrac{1}{0{,}2} = 5
\Leftrightarrow n = 25
Pour avoir un intervalle de confiance de largeur 0,2, il faut donc choisir une taille d'échantillon :
n = 25
La fréquence observée est 0,72.
Que vaut l'intervalle de confiance dans ce cas ?
On remplace la valeur de n = 100 dans :
IC = \left[ 0{,}72 - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; 0{,}72 + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]
Donc :
IC = \left[ 0{,}72 - \dfrac{1}{\sqrt{100}} ; 0{,}72 + \dfrac{1}{\sqrt{100}} \right]
IC = \left[ 0{,}72 - \dfrac{1}{10} ; 0{,}72 + \dfrac{1}{10} \right]
Ainsi :
IC = \left[ 0{,}62 ; 0{,}82 \right]
Pour n = 100 et f = 0{,}72 , la proportion de billes noires de l'exemple de départ appartient-elle à l'intervalle de confiance ?
Pour n = 100 et f = 0{,}72), on a :
IC = \left[ 0{,}62 ; 0{,}82 \right]
Or, p = 0{,}72 .
Donc p appartient à l'intervalle de confiance.