On admet que la proportion des personnes de groupe sanguin O, dans le monde, est de 45%. Sur un échantillon de 480 personnes, on trouve 221 de groupe sanguin O. Doit-on remettre en question l'affirmation de départ ?
Au seuil de confiance de 95%, la fréquence f des personnes de groupe sanguin O dans un échantillon de taille n appartient à l'intervalle \left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right], p étant la proportion des personnes de groupe sanguin O dans le monde.
Or, ici, on a :
- n=480 car on considère un échantillon de 480 personnes
- p=0{,}45 car l'énoncé précise que 45% des personnes sont de groupe sanguin O.
On a bien n\geqslant 25 et 0{,}2\leqslant p\leqslant 0{,}8
On obtient donc un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence :
f\in\left[ 0{,}45-\dfrac{1}{\sqrt{480}};0{,}45+\dfrac{1}{\sqrt{480}} \right]
Un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des personnes de groupe sanguin O dans un échantillon de taille 480 est \left[ 0{,}404;0{,}496\right].
Ici, sur 480 personnes, il y a 221 personnes de groupe sanguin O. Calculons la fréquence des personnes de groupe sanguin O :
\dfrac{221}{480}\approx 0{,}46
Or :
0{,}46\in\left[ 0{,}404;0{,}496\right]
On ne peut donc pas remettre en cause, au seuil de confiance de 95%, l'affirmation de départ.
Le maire d'une commune d'un million d'habitants annonce que sa ville compte 22% de personnes de moins de 18 ans. Sur un échantillon de 300 000 personnes de cette commune, on trouve 64 000 personnes de moins de 18 ans. Doit-on remettre en cause l'affirmation de départ ?
Au seuil de confiance de 95%, la fréquence f des personnes de moins de 18 ans dans un échantillon de taille n appartient à l'intervalle \left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right], p étant la proportion des personnes de moins de 18 ans.
Or, ici, on a :
- n=300\ 000 car on considère un échantillon de 300 000 personnes.
- p=0{,}22 car on émet l'hypothèse qu'il y a 22% de personnes de moins de 18 ans.
On a bien n\geqslant 25 et 0{,}2\leqslant p\leqslant 0{,}8
On obtient donc un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence :
f\in\left[ 0{,}22-\dfrac{1}{\sqrt{300\ 000}};0{,}22+\dfrac{1}{\sqrt{300\ 000}} \right]
Un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des personnes de moins de 18 ans dans un échantillon de taille 300 000 est \left[ 0{,}218;0{,}222\right].
Ici, sur 300 000 personnes, il y a 64 000 personnes de moins de 18 ans. Calculons la fréquence des personnes de moins de 18 ans :
\dfrac{64\ 000}{300\ 000}\approx0{,}213
Or :
0{,}213\notin\left[ 0{,}218;0{,}222\right]
On remet donc en cause, au seuil de confiance de 95%, l'affirmation de départ.
Le maire d'une ville vient de faire installer un feu rouge et annonce que le feu est vert la moitié du temps. Pendant une journée, on relève la couleur du feu lorsque les voitures arrivent à son niveau.
263 voitures sont arrivées alors que le feu était rouge, 64 alors qu'il était orange et 429 alors qu'il était vert. Doit-on remettre en question l'affirmation de départ ?
Au seuil de confiance de 95%, la fréquence f des voitures qui arrivent alors que le feu est vert dans un échantillon de taille n appartient à l'intervalle \left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right], p étant la proportion des voitures devant arriver alors que le feu est vert.
Or, ici, on a :
- n=263+64+429=756 car on considère un échantillon de 756 voitures.
- p=0{,}5 car l'énoncé précise que le feu doit être vert la moitié du temps.
On a bien n\geqslant 25 et 0{,}2\leqslant p\leqslant 0{,}8
On obtient donc un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence :
f\in\left[ 0{,}5-\dfrac{1}{\sqrt{756}};0{,}5+\dfrac{1}{\sqrt{756}} \right]
Un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des voitures devant arriver alors que le feu est vert dans un échantillon de taille 756 est \left[ 0{,}464;0{,}536\right].
Ici, sur 756 voitures, il y a 429 voitures qui sont arrivées alors que le feu était vert. Calculons la fréquence des voitures arrivées alors que le feu était vert :
\dfrac{429}{756}\approx 0{,}567
Or :
0{,}567\notin\left[ 0{,}464;0{,}536\right]
On remet donc en cause, au seuil de confiance de 95%, l'affirmation de départ.
Dans une population d'enfants de 5 à 8 ans, on admet que 25% des enfants ont des allergies. Une étude est faite à partir d'un échantillon de 100 enfants et on dénombre 22 enfants allergiques. Doit-on remettre en question l'affirmation de départ ?
Au seuil de confiance de 95%, la fréquence f des enfants allergiques dans un échantillon de taille n appartient à l'intervalle \left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right], p étant la proportion des enfants allergiques.
Or, ici, on a :
- n=100 car on considère un échantillon de 100 enfants
- p=0{,}25 car l'énoncé précise qu'il y a 25% d'enfants allergiques
On a bien n\geqslant 25 et 0{,}2\leqslant p\leqslant 0{,}8
On obtient donc un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence :
f\in\left[ 0{,}25-\dfrac{1}{\sqrt{100}};0{,}25+\dfrac{1}{\sqrt{100}} \right]
Un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des enfants allergiques dans un échantillon de taille 100 est \left[ 0{,}15;0{,}35\right].
Ici, sur 100 enfants, il y a 22 enfants allergiques. Calculons la fréquence des enfants allergiques :
\dfrac{22}{100}=0{,}22
Or 0{,}22\in\left[ 0{,}15;0{,}35\right]
On ne remet donc pas en cause, au seuil de confiance de 95%, l'affirmation de départ.