On considère la matrice de transition M suivante :
M = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6\cr\cr 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}
Quel est l'état stable P associé à la matrice de transition M ?
Existence de l'état stable
D'après le cours, on sait que pour tout graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0, l'état P_n converge vers un état stable P indépendant de l'état initial P_0.
Or, ici la matrice de transition M est d'ordre 2 et ne contient pas de 0. On en déduit qu'il existe un état stable P.
Détermination de l'état stable
D'après le cours, on sait que, quand il existe, l'état stable P d'une matrice de transition M vérifie l'équation :
P = PM
On pose P= \begin{pmatrix} x &y\end{pmatrix} et on cherche à déterminer x et y.
Sachant que M= \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6\cr\cr 0{,}3 & 0{,}7\end{pmatrix}, l'équation précédente devient donc :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6\cr\cr 0{,}3 & 0{,}7\end{pmatrix}
Or :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6\cr\cr 0{,}3 & 0{,}7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4x+0{,}3y & 0{,}6x+0{,}7y\end{pmatrix}
L'équation devient :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4x+0{,}3y & 0{,}6x+0{,}7y\end{pmatrix}
Soit, sous forme de système :
\begin{cases} x = 0{,}4x+0{,}3y\cr \cr y= 0{,}6x+0{,}7y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 0{,}6x = 0{,}3y\cr \cr 0{,}3y= 0{,}6x \end{cases}
On en déduit que :
y = 2x
Or, on sait que x+y = 1 car \left(x,y\right) est un état probabiliste.
Il reste donc à résoudre le système suivant :
\begin{cases} y = 2x\cr \cr x+y=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = 2\left(1-y\right)\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 3y = 2\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{2}{3}\cr \cr x=\dfrac{1}{3} \end{cases}
L'état stable P associé à la matrice de transition M est \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}.
On considère la matrice de transition M suivante :
M = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8\cr\cr 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}
Quel est l'état stable P associé à la matrice de transition M ?
Existence de l'état stable
D'après le cours, on sait que pour tout graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0, l'état P_n converge vers un état stable P indépendant de l'état initial P_0.
Or, ici la matrice de transition M est d'ordre 2 et ne contient pas de 0. On en déduit qu'il existe un état stable P.
Détermination de l'état stable
D'après le cours, on sait que, quand il existe, l'état stable P d'une matrice de transition M vérifie l'équation :
P = PM
On pose P= \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} et on cherche à déterminer x et y.
Sachant que M= \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8\cr\cr 0{,}5 & 0{,}5\end{pmatrix}, l'équation précédente devient donc :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8\cr\cr 0{,}5 & 0{,}5\end{pmatrix}
Or :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8\cr\cr 0{,}5 & 0{,}5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0{,}2x+0{,}5y & 0{,}8x+0{,}5y\end{pmatrix}
L'équation devient :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0{,}2x+0{,}5y & 0{,}8x+0{,}5y\end{pmatrix}
Soit, sous forme de système :
\begin{cases} x = 0{,}2x+0{,}5y\cr \cr y= 0{,}8x+0{,}5y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 0{,}8x = 0{,}5y\cr \cr 0{,}5y= 0{,}8x \end{cases}
On en déduit que :
y = \dfrac{8}{5}x
Or, on sait que x+y = 1 car \left(x,y\right) est un état probabiliste.
Il reste donc à résoudre le système suivant :
\begin{cases} y = \dfrac{8}{5}x\cr \cr x+y=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{8}{5}\left(1-y\right)\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y +\dfrac{8}{5}y= \dfrac{8}{5}\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{13}{5}y = \dfrac{8}{5}\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{8}{13}\cr \cr x=1-\dfrac{8}{13}\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{8}{13}\cr \cr x=\dfrac{5}{13}\end{cases}
L'état stable P associé à la matrice de transition M est \begin{pmatrix} \dfrac{5}{13} & \dfrac{8}{13} \end{pmatrix}.
On considère la matrice de transition M suivante :
M = \begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}9\cr\cr 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}
Quel est l'état stable P associé à la matrice de transition M ?
Existence de l'état stable
D'après le cours, on sait que pour tout graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0, l'état P_n converge vers un état stable P indépendant de l'état initial P_0.
Or, ici la matrice de transition M est d'ordre 2 et ne contient pas de 0. On en déduit qu'il existe un état stable P.
Détermination de l'état stable
D'après le cours, on sait que, quand il existe, l'état stable P d'une matrice de transition M vérifie l'équation :
P = PM
On pose P= \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} et on cherche à déterminer x et y.
Sachant que M =\begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}9\cr\cr 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}, l'équation précédente devient donc :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}9\cr\cr 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}
Or :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}9\cr\cr 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0{,}1x+0{,}8y & 0{,}9x+0{,}2y\end{pmatrix}
L'équation devient :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}1x+0{,}8y & 0{,}9x+0{,}2y\end{pmatrix}
Soit, sous forme de système :
\begin{cases} x = 0{,}1x+0{,}8y\cr \cr y= 0{,}9x+0{,}2y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 0{,}9x = 0{,}8y\cr \cr 0{,}8y= 0{,}9x \end{cases}
On en déduit que :
y = \dfrac{9}{8}x
Or, on sait que x+y = 1 car \left(x,y\right) est un état probabiliste.
Il reste donc à résoudre le système suivant :
\begin{cases} y = \dfrac{9}{8}x\cr \cr x+y=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{9}{8}\left(1-y\right)\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y +\dfrac{9}{8}y= \dfrac{9}{8}\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{17}{8}y = \dfrac{9}{8}\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{9}{17}\cr \cr x=1-\dfrac{9}{17}\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{9}{17}\cr \cr x=\dfrac{8}{17}\end{cases}
L'état stable P associé à la matrice de transition M est \begin{pmatrix} \dfrac{8}{17} & \dfrac{9}{17} \end{pmatrix}.
On considère la matrice de transition M suivante :
M = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5\cr\cr 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}
Quel est l'état stable P associé à la matrice de transition M ?
Existence de l'état stable
D'après le cours, on sait que pour tout graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0, l'état P_n converge vers un état stable P indépendant de l'état initial P_0.
Or, ici la matrice de transition M est d'ordre 2 et ne contient pas de 0. On en déduit qu'il existe un état stable P.
Détermination de l'état stable
D'après le cours, on sait que, quand il existe, l'état stable P d'une matrice de transition M vérifie l'équation :
P = PM
On pose P =\begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} et on cherche à déterminer x et y.
Sachant que M= \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5\cr\cr 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}, l'équation précédente devient donc :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5\cr\cr 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}
Or :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5\cr\cr 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0{,}5x+0{,}6y & 0{,}5x+0{,}4y\end{pmatrix}
L'équation devient :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5x+0{,}6y & 0{,}5x+0{,}4y\end{pmatrix}
Soit, sous forme de système :
\begin{cases} x = 0{,}5x+0{,}6y\cr \cr y= 0{,}5x+0{,}4y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 0{,}5x = 0{,}6y\cr \cr 0{,}6y= 0{,}5x \end{cases}
On en déduit que :
y = \dfrac{5}{6}x
Or, on sait que x+y = 1 car \left(x,y\right) est un état probabiliste.
Il reste donc à résoudre le système suivant :
\begin{cases} y = \dfrac{5}{6}x\cr \cr x+y=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{5}{6}\left(1-y\right)\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y +\dfrac{5}{6}y= \dfrac{5}{6}\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{11}{6}y = \dfrac{5}{6}\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{5}{11}\cr \cr x=1-\dfrac{5}{11}\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{5}{11}\cr \cr x=\dfrac{6}{11}\end{cases}
L'état stable P associé à la matrice de transition M est \begin{pmatrix} \dfrac{6}{11} & \dfrac{5}{11} \end{pmatrix}.
On considère la matrice de transition M suivante :
M = \begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7\cr\cr 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}
Quel est l'état stable P associé à la matrice de transition M ?
Existence de l'état stable
D'après le cours, on sait que pour tout graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0, l'état P_n converge vers un état stable P indépendant de l'état initial P_0.
Or, ici la matrice de transition M est d'ordre 2 et ne contient pas de 0. On en déduit qu'il existe un état stable P.
Détermination de l'état stable
D'après le cours, on sait que, quand il existe, l'état stable P d'une matrice de transition M vérifie l'équation :
P = PM
On pose P =\begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} et on cherche à déterminer x et y.
Sachant que M= \begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7\cr\cr 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}, l'équation précédente devient donc :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7\cr\cr 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}
Or :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7\cr\cr 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0{,}3x+0{,}8y & 0{,}7x+0{,}2y\end{pmatrix}
L'équation devient :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0{,}3x+0{,}8y & 0{,}7x+0{,}2y\end{pmatrix}
Soit, sous forme de système :
\begin{cases} x = 0{,}3x+0{,}8y\cr \cr y= 0{,}7x+0{,}2y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 0{,}7x = 0{,}8y\cr \cr 0{,}8y= 0{,}7x \end{cases}
On en déduit que :
y = \dfrac{7}{8}x
Or, on sait que x+y = 1 car \left(x,y\right) est un état probabiliste.
Il reste donc à résoudre le système suivant :
\begin{cases} y = \dfrac{7}{8}x\cr \cr x+y=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{7}{8}\left(1-y\right)\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y +\dfrac{7}{8}y= \dfrac{7}{8}\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{15}{8}y = \dfrac{7}{8}\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{7}{15}\cr \cr x=1-\dfrac{7}{15}\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{7}{15}\cr \cr x=\dfrac{8}{15}\end{cases}
L'état stable P associé à la matrice de transition M est \begin{pmatrix} \dfrac{8}{15} & \dfrac{7}{15} \end{pmatrix}.
On considère la matrice de transition M suivante :
M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3\cr\cr 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}
Quel est l'état stable P associé à la matrice de transition M ?
Existence de l'état stable
D'après le cours, on sait que pour tout graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0, l'état P_n converge vers un état stable P indépendant de l'état initial P_0.
Or, ici la matrice de transition M est d'ordre 2 et ne contient pas de 0. On en déduit qu'il existe un état stable P.
Détermination de l'état stable
D'après le cours, on sait que, quand il existe, l'état stable P d'une matrice de transition M vérifie l'équation :
P = PM
On pose P= \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} et on cherche à déterminer x et y.
Sachant que M =\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3\cr\cr 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}, l'équation précédente devient donc :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3\cr\cr 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}
Or :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3\cr\cr 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0{,}7x+0{,}1y & 0{,}3x+0{,}9y\end{pmatrix}
L'équation devient :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0{,}7x+0{,}1y & 0{,}3x+0{,}9y\end{pmatrix}
Soit, sous forme de système :
\begin{cases} x = 0{,}7x+0{,}1y\cr \cr y= 0{,}3x+0{,}9y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 0{,}3x = 0{,}1y\cr \cr 0{,}1y= 0{,}3x \end{cases}
On en déduit que :
y =3x
Or, on sait que x+y = 1 car \left(x,y\right) est un état probabiliste.
Il reste donc à résoudre le système suivant :
\begin{cases} y = 3x\cr \cr x+y=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y =3\left(1-y\right)\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y +3y=3\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 4y = 3\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{3}{4}\cr \cr x=1-\dfrac{3}{4}\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{3}{4}\cr \cr x=\dfrac{1}{4}\end{cases}
L'état stable P associé à la matrice de transition M est \begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} \end{pmatrix}.
On considère la matrice de transition M suivante :
M = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4\cr\cr 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix}
Quel est l'état stable P associé à la matrice de transition M ?
Existence de l'état stable
D'après le cours, on sait que pour tout graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0, l'état P_n converge vers un état stable P indépendant de l'état initial P_0.
Or, ici la matrice de transition M est d'ordre 2 et ne contient pas de 0. On en déduit qu'il existe un état stable P.
Détermination de l'état stable
D'après le cours, on sait que, quand il existe, l'état stable P d'une matrice de transition M vérifie l'équation :
P = PM
On pose P= \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} et on cherche à déterminer x et y.
Sachant que M= \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4\cr\cr 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix}, l'équation précédente devient donc :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4\cr\cr 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix}
Or :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4\cr\cr 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0{,}6x+0{,}9y & 0{,}4x+0{,}1y\end{pmatrix}
L'équation devient :
\begin{pmatrix} x& y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6x+0{,}9y & 0{,}4x+0{,}1y\end{pmatrix}
Soit, sous forme de système :
\begin{cases} x = 0{,}6x+0{,}9y\cr \cr y= 0{,}4x+0{,}1y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 0{,}4x = 0{,}9y\cr \cr 0{,}9y= 0{,}4x \end{cases}
On en déduit que :
y = \dfrac{4}{9}x
Or, on sait que x+y = 1 car \left(x,y\right) est un état probabiliste.
Il reste donc à résoudre le système suivant :
\begin{cases} y = \dfrac{4}{9}x\cr \cr x+y=1 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{4}{9}\left(1-y\right)\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y +\dfrac{4}{9}y= \dfrac{4}{9}\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{13}{9}y = \dfrac{4}{9}\cr \cr x=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{4}{13}\cr \cr x=1-\dfrac{4}{13}\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y = \dfrac{4}{13}\cr \cr x=\dfrac{9}{13}\end{cases}
L'état stable P associé à la matrice de transition M est \begin{pmatrix} \dfrac{9}{13} & \dfrac{4}{13} \end{pmatrix}.