On considère le graphe probabiliste G suivant :
Quelle est la matrice de transition A associée à G ?
D'après le cours, on sait qu'un graphe probabiliste d'ordre n admet une matrice de transition carrée A de format \left(n;n\right) dont le coefficient a_{ij} est égal au poids de l'arête orientée issue du sommet i et d'extrémité j.
On en déduit la matrice de transition A associée à G :
A= \begin{pmatrix} 0{,}9& 0{,}1\cr\cr 0{,}2& 0{,}8\end{pmatrix}
On donne l'état initial P_0 = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}.
Quelle est la valeur de P_4 ?
D'après le cours, on sait que la valeur de P_n, l'état probabiliste à l'étape n, vaut :
P_n = P_0 \times A^n
Ici, on en déduit que :
P_4 = P_0 \times A^4
Soit :
P_4 = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \cr\cr 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}^4
À l'aide de la calculatrice, on en déduit que :
P_4 = \begin{pmatrix} 0{,}62665 & 0{,}37335 \end{pmatrix}