On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :
\left(E\right) : -20x+9y= 1
On sait que le couple \left(-5;-11\right) est solution de l'équation.
Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : -20\left(x+5\right) = 9\left(-y-11\right) ?
Supposons que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a alors -20x+9y=1
On sait également que -20 \times \left(-5\right) +9 \times \left(-11\right) = 1
Donc par soustraction membre à membre on obtient :
-20x-20\times 5+9y +9\times 11 = 1-1
Soit :
-20\left(x+5\right)+9\left(y+11\right) = 0
Ce qui donne :
-20\left(x+5\right)=9\left(-y-11\right)
On obtient l'implication cherchée :
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : -20\left(x+5\right)=9\left(-y-11\right) .
Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x = -5+9 k et y=-11+20k ?
On suppose que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a :
- -20\left(x+5\right)=9\left(-y-11\right)
- \left(x+5\right) et \left(-y-11\right) sont des entiers
Alors on a :
-20 divise 9\left(-y-11\right)
D'après le théorème de Gauss si a, b et c sont des entiers tels que a divise le produit bc et a est premier avec b alors a divise c.
Donc, comme -20 est premier avec 9, -20 divise \left(-y-11\right).
Ainsi, il existe un entier relatif k tel que -20k= -y-11
On en déduit que :
y = -11+20k
On peut finalement remplacer cette expression de y dans l'égalité suivante :
-20\left(x+5\right)=9\left(-y-11\right)
\Leftrightarrow -20\left(x+5\right)=9\left(11-20k-11\right)
\Leftrightarrow -20\left(x+5\right)=-9\times 20k
\Leftrightarrow x+5= 9k
\Leftrightarrow x= -5+9k
Ce qui donne bien :
- x= -5+9k
- y = -11+20k
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right), alors il existe un entier k tel que x = -5+9k et y = -11+20k.
Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?
Réciproquement, on vérifie que les couples \left(-5+9k ; -11+20k\right) sont solutions de \left(E\right) en remplaçant dans l'équation :
-20\left(-5+9k\right) +9 \left(-11+20k\right) = 100 -20\times 9 k -99-9\times 20 k = 1
Les couples \left(-5+9k ; -11+20k\right) sont bien solutions de \left(E\right).
Les couples solutions de \left(E\right) sont les couples de la forme \left(-5+9k ; -11+20k\right) avec k \in \mathbb{Z}.