On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :
\left(E\right) : 22x+30y= 2
On sait que le couple \left(-4;3\right) est solution de l'équation.
Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right) ?
Supposons que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a alors 22x+30y=2
On remarque que cette équation est équivalente à 11x+15y=1 en divisant par deux.
On sait également que 11 \times \left(-4\right) +15 \times 3 = 1
Donc par soustraction membre à membre on obtient :
11x+11\times 4 +15y+15\times\left(- 3\right) = 1-1
Soit :
11\left(x+4\right)+15\left(y-3\right) = 0
Ce qui donne :
11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right)
On obtient l'implication cherchée :
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right) .
Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x =3-11k et y=-4+15k ?
On suppose que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a :
- 11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right)
- \left(x+4\right) et \left(-y+3\right) sont des entiers.
Alors on a :
11divise 15\left(-y+3\right)
D'après le théorème de Gauss si a, b et c sont des entiers tels que a divise le produit bc et a est premier avec b alors a divise c.
Donc, comme 11 est premier avec 15, 11 divise \left(-y+3\right).
Ainsi, il existe un entier relatif k tel que 11k= -y+3
On en déduit que :
y = 3-11k
On peut finalement remplacer cette expression de y dans l'égalité suivante :
11\left(x+4\right)=15\left(-y+3\right)
\Leftrightarrow 11\left(x+4\right)=15\left(-3+11k+3\right)
\Leftrightarrow 11\left(x+4\right)=15 \times 11k
\Leftrightarrow x+4= 15k
\Leftrightarrow x= -4+15k
Ce qui donne bien :
- x= -4+15k
- y = 3-11k
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right), alors il existe un entier k tel que x= -4+15k et y = 3-11k.
Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?
Réciproquement, on vérifie que les couples \left(-4+15k ; 3-11k\right) sont solutions de \left(E\right) en remplaçant dans l'équation :
11\left(-4+15k\right) +15\left(3-11k\right) = -44+11\times 15k +45-15\times 11k = 1
Les couples \left(-4+15k ; 3-11k\right) sont bien solutions de \left(E\right).
Les couples solutions de \left(E\right) sont les couples de la forme \left(-4+15k ; 3-11k\right) avec k \in \mathbb{Z}.