Soit PQR un triangle quelconque.
On appelle P', Q' et R' les pieds des hauteurs de PQR issues respectivement des sommets P, Q et R. Soit H l'orthocentre de PQR.
On appelle enfin E, F et L les milieux respectifs des segments \left[PR\right], \left[RQ\right], \left[PH\right].
Pourquoi P' appartient au cercle C de diamètre \left[FL\right] ?
Le point P' étant le pied de la hauteur du triangle PQR issue du sommet P, on en déduit que les droites \left(PP'\right) et \left(RQ\right) sont perpendiculaires. Le point F appartenant à \left(RQ\right), on en conclut que \left(PP'\right) et \left(P'F\right) sont perpendiculaires.
On en déduit que le triangle FLP' est rectangle en P'.
Or, l'hypoténuse d'un triangle rectangle est un diamètre du cercle circonscrit à ce triangle rectangle.
Le cercle C ayant pour diamètre \left[FL\right], qui est l'hypoténuse du triangle FLP', on en conclut que ce cercle est le cercle circonscrit au triangle FLP'.
Les trois sommets du triangle FLP' appartiennent donc au cercle C.
Le point P' appartient au cercle C.
Quelle proposition démontre que le point E appartient également à C ?
Pour démontrer que le point E appartient également au cercle C, il suffit de montrer, comme précédemment, que le triangle FLE est rectangle en E.
On va donc montrer que les droites \left(EF\right) et \left(EL\right) sont perpendiculaires.
Montrons que \left(EF\right) et \left(RR'\right) sont perpendiculaires.
Dans le triangle PQR, \left(EF\right) est la droite des milieux des côtés \left[PR\right] et \left[RQ\right]. Donc \left(EF\right) est parallèle à \left(PQ\right).
De plus, \left(RR'\right) étant la hauteur du triangle PQR issue du sommet R, on a : \left(RR'\right) perpendiculaire à \left(PQ\right).
Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
La droite \left(RR'\right) est donc également perpendiculaire à \left(EF\right).
Montrons que \left(EL\right) et \left(RR'\right) sont parallèles.
H étant l'orthocentre du triangle PQR, il est donc le point de concours des trois hauteurs \left(PP'\right), \left(RR'\right) et \left(QQ'\right) de ce triangle et appartient donc à ces trois hauteurs.
Dans le triangle PHR, \left(EL\right) est la droite des milieux des côtés \left[PR\right] et \left[PH\right]. Donc \left(EL\right) est parallèle à \left(RH\right).
\left(EL\right) est donc parallèle à \left(RR'\right), les points R, H et R' étant alignés.
Finalement, on a :
- \left(EF\right) perpendiculaire à \left(RR'\right).
- \left(EL\right) parallèle à \left(RR'\right).
On en conclut que les droites \left(EF\right) et \left(EL\right) sont perpendiculaires, et donc que le triangle FLE est rectangle en E.
Le point E appartient également au cercle C.
Soit G le milieu de \left[PQ\right].
G appartient-il au cercle C ?
Pour vérifier que G appartient au cercle C, on peut montrer que les droites \left(GL\right) et \left(GF\right) sont perpendiculaires.
De la même manière qu'à la question précédente, on montre que :
- \left(GF\right) perpendiculaire à \left(QQ'\right).
- \left(GL\right) parallèle à \left(QQ'\right).
On en conclut que les droites \left(GL\right) et \left(GF\right) sont perpendiculaires, et donc que le triangle FLG est rectangle en G.
Le point G appartient donc également au cercle C.