En utilisant la réciproque du théorème de Pythagore
Afin de démontrer qu'un triangle est rectangle, lorsque l'on connaît les longueurs de ses côtés, on peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.
On considère le triangle ABC tel que BC = 10, AB = 9{,}6 et AC = 2{,}8.
Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
Calculer séparément les carrés des longueurs des côtés
On calcule séparément :
- La somme des carrés des longueurs des deux plus petits côtés du triangle
- Le carré de la longueur du plus grand côté du triangle
Le plus grand côté du triangle est BC. On calcule donc séparément :
- BC^2 = 10^2=100
- AB^2+AC^2 = 9{,}6^2 +2{,}8^2 = 92{,}16 +7{,}84 =100
Remarquer que les deux expressions sont égales
On remarque que les deux expressions sont égales.
On remarque que :
BC^2= AB^2+AC^2
Énoncer la réciproque du théorème de Pythagore et conclure
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle et son plus grand côté est son hypoténuse.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A et le côté \left[ BC \right] est son hypoténuse.
À l'aide de la médiane et de l'hypothénuse
On peut également démontrer qu'un triangle est rectangle si l'on connaît la longueur de la médiane issue du sommet opposé à l'hypoténuse, ainsi que la longueur de l'hypothénuse.
On considère le triangle ABC et H le milieu du côté \left[ BC \right]. On sait que le plus grand côté, \left[BC \right], mesure 12 cm et que AH = 6 cm.
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
Rappeler le cours
On rappelle que si, dans un triangle, la longueur de la médiane issue du sommet opposé au plus grand côté vaut la moitié de la longueur de ce côté, alors le triangle est rectangle.
Si, dans un triangle, la longueur de la médiane issue du sommet opposé au plus grand côté vaut la moitié de la longueur de ce côté, alors le triangle est rectangle.
Calculer la longueur de la médiane
On rappelle ou on calcule la longueur de la médiane issue du sommet opposé au plus grand côté du triangle.
On sait que la médiane issue du sommet opposé à \left[ BC \right] mesure 6 cm.
Calculer la longueur du plus grand côté
On rappelle ou on calcule la longueur du plus grand des trois côtés du triangle.
On sait que \left[ BC \right] est le plus grand côté du triangle ABC et que BC = 12 cm.
Conclure
On remarque que la médiane a pour longueur la moitié de celle du plus grand côté. On en déduit que le triangle est rectangle et que son plus grand côté est son hypoténuse.
On remarque que AH = \dfrac{1}{2}BC.
On en conclut que le triangle ABC est rectangle et que son hypoténuse est le côté \left[ AB \right].
À l'aide du cercle circonscrit
Si l'un des côtés d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.
Soit \Gamma le cercle circonscrit au triangle ABC et AB un diamètre de \Gamma. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
Identifier le cercle circonscrit et son diamètre
On identifie le cercle circonscrit au triangle ainsi que le diamètre.
\Gamma est le cercle circonscrit au triangle ABC et le côté \left[ AB \right] est un diamètre de ce cercle.
Conclure
Si l'un des côtés d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors le triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.
On en conclut que le triangle est rectangle et on donne son hypoténuse.
Si l'un des côtés d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors le triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.
Donc le triangle ABC est rectangle et son hypoténuse est le coté \left[ AB \right].