Capacité thermique massique du cuivre, Centres étrangers 2022 Exercice type bac

La capacité thermique massique d'un métal, notée c, est une grandeur caractéristique de ce métal.
Son unité est : \text{J.kg}^{-1}\text{.K}^{-1} (ou \text{J.kg}^{-1}\text{.°C}^{-1}).

Pour une masse m donnée de métal, cette grandeur est reliée à la capacité thermique C par la relation C = m \times c.

Plusieurs méthodes expérimentales permettent de déterminer la valeur de la capacité thermique massique. L'une d'elle repose sur l'analyse des échanges thermiques entre un échantillon de métal chauffé préalablement dans une étuve et un volume d'eau à température ambiante.

Dans cet exercice, on s'intéresse tout d'abord à la durée de chauffage de l'échantillon dans l'étuve avant d'examiner la méthode mise en œuvre afin de retrouver la valeur de la capacité thermique massique du métal le constituant.

On rappelle que l'expression de la variation d'énergie interne d'un système incompressible de masse m entre deux états i et f se met sous la forme :

\Delta U_{i \ce{->} f} = m \times c \times \Delta \theta

avec c la capacité thermique massique du système étudié et \Delta \theta = (\theta_f - \theta_i) la variation de température du système entre ces deux états.

Temps de mise à température de l'échantillon de cuivre

À la date t = 0, on place un échantillon de cuivre, initialement à la température ambiante \theta_a, dans une étuve à l'intérieur de laquelle l'air est à la température \theta_{th} = 100 \text{ °C} .

On veut estimer la durée nécessaire pour être sûr que la température de l'échantillon de cuivre est bien de 100 °C à moins de 1 °C près.
Pour cela, on étudie l'évolution temporelle de la température \theta_{(t)} du système « échantillon de cuivre », de masse m.

Hypothèses

La température \theta_{(t)} est la même en tout point de l'échantillon de cuivre.
L'air à l'intérieur de l'étuve joue le rôle d'un thermostat. Sa température \theta_{th} reste constante au cours du temps.
Le transfert thermique entre le système et l'air à l'intérieur de l'étuve obéit à la loi phénoménologique de Newton qui exprime une relation de proportionnalité entre le flux thermique \Phi et l'écart de température (\theta_{th} - \theta_{(t)}) .

\Phi = h \times S \times (\theta_{th} - \theta_{(t)})

Données :

\theta_{a} = 20{,}5 \text{ °C} et \theta_{th} = 100{,}0 \text{ °C}
Masse de l'échantillon de cuivre m = 44{,}8 \text{ g}
Capacité thermique massique du cuivre, valeur tabulée : c = 385 \text{ J.kg}^{-1}\text{K}^{-1}
Surface S d'échange entre le système et l'air S = 22 \text{ cm}^2
Coefficient d'échange convectif de l'air : h = 10 \text{ W.m}^{-2}\text{K}^{-1}
\lim\limits_{x \to + \infty} e^{-x} =0

Dans quel sens le transfert thermique a-t-il lieu entre le système et le thermostat ?

De l'air vers l'échantillon de cuivre

De l'eau vers l'échantillon de cuivre

De l'échantillon de cuivre vers l'air

De l'échantillon de cuivre vers l'eau

Dans quelle proposition a-t-on correctement écrit le premier principe pour le système ? En déduire une relation entre le transfert thermique Q, la masse du système m, la capacité thermique massique du cuivre c et la variation de température \Delta \theta du système soumis au transfert thermique.

\Delta U = W +Q= Q =m \times c \times \Delta \theta

\Delta U = W +Q= W =m \times c \times \Delta \theta

\Delta U = W +Q= Q =m \times c \times \theta

\Delta U = W +Q= W =m \times c \times \theta

Quelle est la relation liant le transfert thermique Q et le flux thermique \Phi pendant la durée très courte \Delta t ? On suppose que \Phi est constant pendant la durée \Delta t.

\Phi = \dfrac{Q}{\Delta t}

\Phi = \dfrac{\Delta t^2}{Q}

\Phi = Q \times \Delta t

\Phi = Q \times \Delta t^2

Par déduction, quelle relation entre h, S, \theta_{th}, \theta(t), m, c, \Delta \theta et \Delta t peut-on établir ?

m \times c \times \Delta \theta = h\times S \times (\theta_{th}-\theta_{(t)}) \times \Delta t

c \times(\theta_{th}-\theta_{(t)}) = m \times h\times S \times \Delta \theta \times \Delta t

m \times c \times \Delta \theta = h\times S \times (\theta_{th}-\theta_{(t)}) \times \Delta t

c \times \Delta t = m \times h\times S \times (\theta_{th}-\theta_{(t)}) \times \Delta \theta

Par déduction de ce qui précède, quelle est l'équation différentielle donnant l'évolution de la température \theta(t) du système en fonction du temps ?

La mettre sous la forme :
\dfrac{\theta(t)}{dt} + \dfrac{1}{\tau} \times \theta(t) = \dfrac{ \theta_{th}}{\tau}

\tau étant un temps caractéristique :
\tau=\dfrac{m \times c}{h \times S}

On a donc : \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t} =\dfrac{ h\times S}{m \times c}\times (\theta_{th}-\theta_{(t)}) , soit \dfrac{d\theta}{dt}+\dfrac{ h\times S}{m \times c}\times \theta_{(t)} =\dfrac{ h\times S}{m \times c}\times \theta_{th}

On a donc : \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t} =\dfrac{m \times c}{ h\times S}\times (\theta_{th}-\theta_{(t)}) , soit \dfrac{d\theta}{dt}+\dfrac{ h\times S}{m \times c}\times \theta_{(t)} =\dfrac{ h\times S}{m \times c}\times \theta_{th}

La solution de l'équation différentielle précédente est de la forme :
\theta(t) = A \times e^{-\dfrac{t}{\tau}}+B

où A et B sont deux constantes.

Quelle est l'expression des constantes A et B en fonction de \theta_a et \theta_{th} ? Détailler le raisonnement.

Si t \ce{->} + \infty, \theta(t) = A \times e^{-\infty}+B=\theta_{th}, d'où : B=\theta_{th}
Si t \ce{->} 0 \text{ s}, \theta(t) = A \times e^{0}+B=\theta_a, d'où : A +B=\theta_a, soit : A =\theta_a-\theta_{th}

Si t \ce{->} + \infty, \theta(t) = A \times e^{-\infty}+B=\theta_{a}, d'où : B=\theta_{a}
Si t \ce{->} 0 \text{ s}, \theta(t) = A \times e^{0}+B=\theta_{th}, d'où : A +B=\theta_{th}, soit : A =\theta_{th}-\theta_a

Si t \ce{->} + \infty, \theta(t) = A \times e^{-\infty}+B=\theta_{th}, d'où : A+B=\theta_{th}
Si t \ce{->} 0 \text{ s}, \theta(t) = A \times e^{0}+B=\theta_a, d'où : B=\theta_a, et donc : A =\theta_{th}-\theta_{a}

Si t \ce{->} + \infty, \theta(t) = A \times e^{-\infty}+B=\theta_{a}, d'où : A+B=\theta_{a}
Si t \ce{->} 0 \text{ s}, \theta(t) = A \times e^{0}+B=\theta_{th}, d'où : B=\theta_{th}, et donc : A =\theta_{a}-\theta_{th}

Dans quelle proposition montre-t-on que l'application numérique conduit à l'expression suivante, avec t en s :
\theta(t)_{(\text{°C)}} = 100-79{,}5 \times e^{-\dfrac{t}{784}}

On obtient cette relation à partir des valeurs :

\tau=\dfrac{m \times c}{h \times S}=\dfrac{44{,}8.10^{-3} \times 385}{10 \times 22.10^{-4}}=784 \text{ s}
\theta_a=20{,}5\text{ °C} et \theta_{th}=100{,}0\text{ °C}

On obtient cette relation à partir des valeurs :

\tau=\dfrac{m \times c}{h \times S}=\dfrac{44{,}8 \times 385}{10 \times 22.10^{-4}}=0{,}784 \text{ s}
\theta_a=20{,}5\text{ °C} et \theta_{th}=100{,}0\text{ °C}

On obtient cette relation à partir des valeurs :

\tau=\dfrac{m \times c}{h \times S}=\dfrac{44{,}8 \times 385}{10 \times 22.10^{-4}}=0{,}784 \text{ s}
\theta_a=79{,}5\text{ °C} et \theta_{th}=100{,}0\text{ °C}

On obtient cette relation à partir des valeurs :

\tau=\dfrac{m \times c}{h \times S}=\dfrac{44{,}8 \times 385}{10 \times 22.10^{-4}}=0{,}784 \text{ s}
\theta_a=20{,}0\text{ °C} et \theta_{th}=79{,}5\text{ °C}

Quelle est la date t_1 à partir de laquelle la température du système sera supérieure à 99 °C ?

À partir de la relation \theta(t_1) = 100-79{,}5 \times e^{-\dfrac{t_1}{784}} \gt 99\text{ °C}, on détermine que t_1 \gt -784 \times \ln (\dfrac{1}{79{,}5}), soit t_1 \gt 3{,}43.10^3 \text{ s}, ou t_1 \gt 0{,}953 \text{ h}.

À partir de la relation \theta(t_1) = 100-79{,}5 \times e^{-\dfrac{t_1}{784}} \gt 99\text{ °C}, on détermine que t_1 \gt -784 \times \ln (\dfrac{1}{79{,}5}), soit t_1 \gt 6{,}83.10^3 \text{ s}, ou t_1 \gt 1{,}921 \text{ h}.

À partir de la relation \theta(t_1) = 100-79{,}5 \times e^{-\dfrac{t_1}{784}} \gt 99\text{ °C}, on détermine que t_1 \gt -79{,}5 \times \ln (\dfrac{1}{784}), soit t_1 \gt 6{,}83.10^3 \text{ s}, ou t_1 \gt 1{,}921 \text{ h}.

À partir de la relation \theta(t_1) = 100-79{,}5 \times e^{-\dfrac{t_1}{784}} \gt 99\text{ °C}, on détermine que t_1 \gt -79{,}5 \times \ln (\dfrac{1}{784}), soit t_1 \gt 3{,}43.10^3 \text{ s}, ou t_1 \gt 0{,}953 \text{ h}.

Principe de la détermination de la capacité thermique massique

On a placé une masse m_e d'eau dans un calorimètre. La température d'équilibre de l'eau est \theta_e=20{,}5 \text{ °C}. On plonge l'échantillon de cuivre à la température \theta_{th} dans l'eau du calorimètre. La température finale de l'ensemble se stabilise à la valeur \theta_{f}.

Hypothèses

La paroi du calorimètre étant une enceinte calorifugée, il n'y a pas de transfert thermique entre l'intérieur et l'extérieur du calorimètre.
On considère de plus, pour simplifier, que le calorimètre ne participe pas aux échanges thermiques et que, par conséquent, les échanges thermiques au sein du calorimètre n'ont lieu qu'entre l'eau et l'échantillon de cuivre.

Données

Masse de l'eau dans le calorimètre m_e= 100 \text{ g}.
Masse de l'échantillon de cuivre : m= 44{,}8 \text{ g}.
Capacité thermique massique de l'eau c_{\text{eau}}= 4180 \text{ J.kg}^{-1}\text{.K}^{-1}.
Température initiale de l'eau \theta_e=20{,}5 \text{ °C}.
\theta_f=23{,}1 \text{ °C}.

Sachant que, dans le calorimètre, l'ensemble {échantillon de cuivre, eau} est isolé, dans quelle proposition montre-t-on correctement que :
c=\dfrac{m_e \times c_{\text{eau}} \times (\theta_f-\theta_e)}{m \times (\theta_{th}-\theta_f)}

On a \Delta U_{\text{eau}}+\Delta U_{\text{cuivre}}=0, soit m_{\text{e}} \times c_{\text{eau}} \times (\theta_{\text{f}} - \theta_{\text{e}}) + m \times c \times (\theta_{\text{f}} - \theta_{\text{th}})=0 et finalement c=\dfrac{m_{\text{e}} \times c_{\text{eau}} \times (\theta_{\text{f}} - \theta_{\text{e}})}{m \times (\theta_{\text{th}} - \theta_{\text{f}})}

On a \Delta U_{\text{eau}}=\Delta U_{\text{cuivre}}, soit m_{\text{e}} \times c_{\text{eau}} \times (\theta_{\text{f}} - \theta_{\text{e}}) = m \times c \times (\theta_{\text{f}} - \theta_{\text{th}}) et finalement c=\dfrac{m_{\text{e}} \times c_{\text{eau}} \times (\theta_{\text{f}} - \theta_{\text{e}})}{m \times (\theta_{\text{th}} - \theta_{\text{f}})}

On a -\Delta U_{\text{eau}}=-\Delta U_{\text{cuivre}}, soit -m_{\text{e}} \times c_{\text{eau}} \times (\theta_{\text{f}} - \theta_{\text{e}}) = -m \times c \times (\theta_{\text{f}} - \theta_{\text{th}}) et finalement c=\dfrac{m_{\text{e}} \times c_{\text{eau}} \times (\theta_{\text{f}} - \theta_{\text{e}})}{m \times (\theta_{\text{th}} - \theta_{\text{f}})}

On a \Delta U_{\text{eau}}-\Delta U_{\text{cuivre}}=0, soit m_{\text{e}} \times c_{\text{eau}} \times (\theta_{\text{f}} - \theta_{\text{e}}) - m \times c \times (\theta_{\text{f}} - \theta_{\text{th}})=0 et finalement c=\dfrac{m_{\text{e}} \times c_{\text{eau}} \times (\theta_{\text{f}} - \theta_{\text{e}})}{m \times (\theta_{\text{th}} - \theta_{\text{f}})}

Dans quelle proposition fait-on correctement l'application numérique ? Proposer une explication à un éventuel écart avec la valeur tabulée.

c=\dfrac{m_{\text{e}} \times c_{\text{eau}} \times (\theta_{\text{f}} - \theta_{\text{e}})}{m \times c \times (\theta_{\text{th}} - \theta_{\text{f}})}=\dfrac{100\times 4\ 180 \times (23{,}1 - 20{,}5)}{44{,}8 \times (100{,}0 - 23{,}1)}=3{,}2.10^2 \text{ J.kg}^{-1}\text{.K}^{-1}

L'écart avec la valeur tabulée peut être dû au fait que le système n'est en fait pas totalement isolé.

L'écart avec la valeur tabulée peut être dû au fait que le système n'est pas du tout isolé.