Une montgolfière est un moyen de transport aérien constitué d'une nacelle pouvant contenir des passagers.
Au-dessus de la nacelle se trouvent :
- une enveloppe en nylon appelée le « ballon » dont on considère le volume constant ;
- un brûleur permettant de réaliser la combustion de propane dans le dioxygène de l'air ; ce propane est stocké dans des bonbonnes transportées dans la nacelle.
De nombreuses sorties sont proposées, d'une durée moyenne d'une heure. Une voiture est contrainte de suivre au sol la montgolfière pour récupérer les passagers et le matériel lors de l'atterrissage. En effet, le lieu d'atterrissage ne peut pas être connu de façon sûre au moment du départ : il est dépendant des conditions météorologiques.
Les objectifs de cet exercice sont :
- de déterminer la masse totale qu'il est possible d'embarquer dans la montgolfière ;
- de trouver l'autonomie de vol maximale possible avec la montgolfière.
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On étudie dans cet exercice une enveloppe en nylon de modèle « M-77 » de 0,1 mm d'épaisseur, de volume V = 2\ 200 \text{ m}^3, à laquelle on accroche une nacelle de modèle « C-1 », de masse m_{\text{nacelle}}=56 \space \text{kg}. La nacelle est capable d'embarquer jusqu'à trois personnes ainsi que quatre bonbonnes pesant chacune 40 kg et contenant 20 kg de propane chacune.
Données :
- intensité de la pesanteur terrestre : g = 9{,}81 \text{ m$\cdot$s}^{–2} ;
- surface de l'enveloppe du ballon : S = 847 \text{ m}^{2} ;
- masse par unité de surface de l'enveloppe en nylon : \phi_{\text{nylon}}= 65 \text{ g.m}^{-2} ;
- constante du gaz parfait : R= 8{,}314 \text{ J.mol}^{-1}\text{K}^{-1} ;
- masse molaire de l'air : M_{\text{air}}= 29{,}0 \text{ g.mol}^{-1}.
1. Détermination de la masse totale qu'il est possible d'embarquer dans la montgolfière
Au cours d'un vol, la montgolfière se trouve à une altitude de 1,5 km. On considère que la pression p à l'intérieur du ballon est égale à la pression à l'extérieur du ballon. La figure 1 présente l'évolution de la pression de l'air en fonction de l'altitude. L'air est considéré comme un gaz parfait. Le brûleur n'est pas actionné au moment où on étudie le système.
Figure 1. Pression de l'air en fonction de l'altitude
Étude du système « ballon »
D'après l'équation d'état du gaz parfait, quelle est la masse volumique de l'air contenu dans le ballon \rho_{\text{int}} en fonction de la pression p, M_{\text{air}}, R et T, la température de l'air contenu dans le ballon ?
L'équation d'état du gaz parfait est :
p \times V = n_{\text{air}} \times R \times T
Or, la quantité de matière de l'air contenu dans le ballon est :
n_{\text{air}} = \dfrac{m_{\text{air}}}{M_{\text{air}}}
Et la masse de l'air dépend de sa masse volumique et de son volume :
m_{\text{air}} = \rho_{\text{int}} \times V
D'où :
n_{\text{air}} = \dfrac{\rho_{\text{int}} \times V}{M_{\text{air}}}
Et :
p \times V = \dfrac{\rho_{\text{int}} \times V}{M_{\text{air}}} \times R \times T
Cette expression permet d'isoler la masse volumique de l'air à l'intérieur du ballon :
\rho_{\text{int}} = \dfrac{p \times M_{\text{air}}}{{R \times T}}
Dans quelle proposition montre-t-on que la valeur de la masse volumique de l'air contenu dans le ballon \rho_{\text{int}} lorsque le ballon est à une altitude de 1,5 km est de l'ordre de 0{,}8 \text{ kg.m}^{-3} ?
On suppose que la température de l'air à l'intérieur du ballon à l'instant où l'on étudie le système est à 373 K.
À 1,5 km, soit 1 500 m d'altitude, la figure 1 donne p = 85 \ 000 \text{ Pa} :
On détermine la masse volumique de l'air à l'intérieur du ballon grâce à l'expression trouvée précédemment :
\rho_{\text{int}} = \dfrac{p \times M_{\text{air}}}{{R \times T}}
où la masse molaire de l'air doit être convertie en \text{kg.mol}^{-1} :
M_{\text{air}} = 29{,}0 \text{ g.mol}^{-1} = 29{,}0.10^{-3} \text{ kg.mol}^{-1}
D'où :
\rho_{\text{int}} = \dfrac{85 \ 000 \times 29{,}0.10^{-3}}{{8{,}314 \times 373}}
\rho_{\text{int}} = 0{,}795\text{ kg.m}^{-3}
Ce qui est bien de l'ordre de 0{,}8\text{ kg.m}^{-3}.
Étude du système « montgolfière »
On suit le déplacement du centre de masse G de la montgolfière. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni d'un repère d'espace (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}) présenté sur la figure 2. L'origine au point O est au niveau du sol, au point de décollage de la montgolfière.
Figure 2. Système d'axes et vecteurs unitaires associés au référentiel terrestre
On considère qu'il s'exerce seulement deux forces sur le système {montgolfière} composé de la nacelle, de son chargement et du ballon :
- le poids \overrightarrow{P} ;
- la poussée d'Archimède qui modélise l'action de l'air sur le ballon : \overrightarrow{P_A} = \rho_{\text{ext}} \times V \times g \times \overrightarrow{k}, où \rho_{\text{ext}} représente la masse volumique de l'air extérieur et V représente le volume total de la montgolfière, dont on considère qu'il est égal au volume du ballon.
On considère que la masse d'air présente dans le ballon est constante et que la montgolfière, de masse totale m, reste immobile. À la température locale et à l'altitude du vol de 1,5 km, la masse volumique de l'air extérieur au ballon vaut 1{,}06 \text{ kg.m}^{-3} tandis que la masse volumique de l'air à l'intérieur du ballon vaut 0{,}80 \text{ kg.m}^{-3}.
Quelle est la représentation correcte des deux forces s'exerçant sur la montgolfière dans le cas où elle est immobile dans le référentiel terrestre, sans souci d'échelle en utilisant le système d'axes de la figure 2 ?
Le système {montgolfière} est soumis à deux forces :
- le poids \overrightarrow{P}, force verticale orientée vers le bas ;
- la poussée d'Archimède \overrightarrow{P_A}, force verticale orientée vers le haut.
Le système étant immobile dans le référentiel terrestre, ces deux forces se compensent (d'après le principe d'inertie), ces forces ont donc la même valeur.
D'où la représentation suivante :
Quelles sont les expressions vectorielles du poids \overrightarrow{P} et de la poussée d'Archimède \overrightarrow{P_A} qui s'exercent sur la montgolfière ?
Les deux forces sont colinéaires à l'axe (Oz) dont le vecteur unitaire est \overrightarrow{k} mais le poids \overrightarrow{P} est orienté vers le bas et la poussée d'Archimède \overrightarrow{P_A} vers le haut.
L'expression vectorielle du poids est :
\overrightarrow{P}=-P \times \overrightarrow{k}=-m \times g \times \overrightarrow{k}
Et comme ces deux forces se compensent :
\overrightarrow{P_A}=- \overrightarrow{P} =m \times g \times \overrightarrow{k}
Par déduction, quelle est la masse totale embarquée dans la nacelle à cette altitude ?
On sait que le poids et la poussée d'Archimède se compensent, leurs valeurs sont donc égales :
P=P_A
D'où :
m \times g=\rho_{\text{ext}} \times V \times g
m =\rho_{\text{ext}} \times V
m =1{,}06 \times 2 \ 200
m =2{,}33.10^3 \text{ kg}
2. Détermination de l'autonomie maximale de vol de la montgolfière
En réalité, la montgolfière ne reste pas à une altitude constante. Son altitude varie autour d'une altitude moyenne, au gré de l'actionnement du brûleur par le pilote. L'utilisation du brûleur est nécessaire pour maintenir une altitude moyenne constante. On considère que la montgolfière est en vol, stabilisée à une altitude moyenne de 1,5 km. La température extérieure est T_{\text{ext}} = 278 \text{ K} au cours d'un vol.
On cherche à établir le bilan énergétique entre le système {air à l'intérieur de l'enveloppe + enveloppe} et le milieu extérieur.
Quels sont les trois modes de transfert thermique ?
Les trois modes de transfert thermique sont :
- La conduction : l'agitation thermique se propage de proche en proche sans déplacement de matière. Ce mode de transfert thermique a lieu principalement dans les solides.
- La convection : l'agitation thermique se propage de proche en proche avec déplacement de matière. Ce mode de transfert thermique a lieu principalement dans les fluides (liquides et gaz).
- Le rayonnement : l'agitation thermique est modifiée par absorption ou émission de rayonnement. Ce transfert thermique a lieu dans tous les milieux y compris le vide.
La figure 3 présente les transferts thermiques qui ont lieu entre le système {ballon} et le milieu extérieur. On rappelle que le ballon représente l'enveloppe en nylon et l'air contenu à l'intérieur. En régime stationnaire, la montgolfière est en équilibre thermique.
Figure 3. Bilan de puissance du système
D'après la figure 3, quelle relation littérale peut-on établir entre les flux thermiques impliqués pour le système lorsque la montgolfière est à l'équilibre thermique ?
La montgolfière étant à l'équilibre thermique, les flux thermiques se compensent.
D'où :
P_{\text{ray reçu}} + P_{\text{comb}} + P_{\text{ouverture}} + P_{\text{r}} + \Phi = 0
Dans cette relation :
- P_{\text{ray reçu}} + P_{\text{comb}} sont des puissances positives car reçues par le système ;
- P_{\text{ouverture}} + P_{\text{r}} + \Phi sont des puissances négatives car cédées par le système.
Une partie du transfert thermique a lieu sous forme de rayonnement de l'enveloppe vers le milieu extérieur.
Le calcul du flux thermique rayonné se fait grâce à la relation de Stefan-Boltzmann P_r = \epsilon \times \sigma \times S \times T^4 avec :
- P_r le flux thermique rayonné ;
- \epsilon le coefficient d'émissivité constant sans unité, pour l'enveloppe du ballon : \epsilon = 0{,}87 ;
- \sigma la constante de Stefan : \sigma = 5{,}67.10^{-8} \text{ W.m}^{-2}\text{K}^{-4} ;
- S la surface de l'enveloppe ;
- T la température de surface de l'enveloppe en K.
De plus, les mouvements de l'air extérieur le long de l'enveloppe sont à l'origine d'un flux thermique transféré vers l'extérieur par un phénomène de conducto-convection que l'on peut calculer grâce à la relation suivante : \Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}}.
- \Phi représente le flux thermique perdu par le système par conducto-convection en W ;
- \Delta T représente la différence de température entre l'enveloppe et le milieu extérieur en K ;
- R_{\text{th}} représente la résistance thermique associée au flux thermique entre l'enveloppe et le milieu extérieur : R_{\text{th}}=3{,}5.10^{-4} \text{ K.W}^{-1}
D'après l'étude, dans ces conditions, la température de l'enveloppe vaut T = 325 \text{ K}, température
intermédiaire entre celle de l'air à l'intérieur du ballon et celle de l'air à l'extérieur du ballon.
Quelle est la valeur du flux thermique par rayonnement P_r émis par l'enveloppe vers le milieu extérieur ?
Le flux thermique par rayonnement P_r étant cédé par le système, il est négatif :
P_r = -\epsilon \times \sigma \times S \times T^4
P_r = -0{,}87 \times 5{,}67.10^{-8} \times 847\times (325)^4
P_r = -4{,}7.10^5 \text{ W}
Quelle est la valeur du flux conducto-convectif \Phi ?
La température de l'air extérieur est 278 K et celle de l'enveloppe est 325 K, le flux conducto-convectif \Phi est donc négatif :
\Phi=\dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}}
\Phi=\dfrac{278-325}{3{,}5.10^{-4}}
\Phi= -1{,}3.10^5 \text{ W}
Dans quelle proposition en déduit-on correctement que la valeur du flux thermique P_{\text{comb}} associé à la combustion du propane en régime de croisière est de l'ordre de 4.10^5 \text{ W} ?
À partir de la relation :
P_{\text{ray reçu}} + P_{\text{comb}} + P_{\text{ouverture}} + P_{\text{r}} + \Phi = 0
On isole P_{\text{comb}} :
P_{\text{comb}} = -P_{\text{ray reçu}} - P_{\text{ouverture}} - P_{\text{r}} - \Phi
P_{\text{comb}} = -1{,}9.10^5 +1{,}8.10^4 + 4{,}7.10^5+1{,}3.10^5
P_{\text{comb}} = 4{,}3.10^5 \text{ W}
Figure 4. Débit de sortie du propane du brûleur en fonction du temps
Le flux thermique associé à la combustion du propane n'est pas libéré de façon continue. En effet, la combustion du propane n'a lieu que lorsque le brûleur fonctionne. L'énergie de combustion massique du propane est : E_{\text{comb}} = 46{,}4 \text{ MJ.kg}^{–1}.
Le pilote actionne le brûleur pendant une durée \tau selon le fonctionnement décrit sur la figure 4.
Lorsque le brûleur est en fonctionnement, 68 g de propane sont brûlés chaque seconde.
Dans quelle proposition montre-t-on que le flux thermique associé à la combustion du propane lorsque le brûleur est en fonctionnement est de l'ordre de 3.10^6 \text{ W} ?
Le brûleur fonctionne pendant la durée \tau = 2{,}0 \text{ s} et pendant cette durée une masse m_{\text{prop}}=2\times 68 \text{ g}=136 \text{ g}=136.10^{-3} \text{ kg} de propane est brûlée.
Cela correspond à une énergie de combustion :
E'_{\text{comb}} = E_{\text{comb}} \times m_{\text{prop}}
E'_{\text{comb}} =46{,}4.10^6 \times136.10^{-3}
E'_{\text{comb}} =6{,}31.10^{6} \text{ J}
La relation entre énergie, puissance et durée est :
P'_{\text{comb}} = \dfrac{E'_{\text{comb}}}{\tau}
P'_{\text{comb}} = \dfrac{6{,}31.10^{6}}{2{,}0}
P'_{\text{comb}} =3{,}2.10^{6} \text{ W}
Dans les conditions de l'étude, quelle est la durée maximale de vol qu'il est possible de réaliser à l'aide du propane embarqué dans la montgolfière ? Commenter.
Toutes les T_{\text{brûleur}} = 20 \text{ s}, le brûleur consomme 0,136 kg de propane. La nacelle embarque quatre bonbonnes contenant 20 kg de propane chacune soit une masse totale de 80 kg. La durée maximale du vol est donc :
\Delta t = \dfrac{80 \times 20}{0{,}136}
\Delta t =1{,}18.10^4 \text{ s}
Soit :
\Delta t =3{,}3 \text{ h} = 3 \text{ h } 16 \text{ min}
Cette durée est suffisamment longue pour que la montgolfière puisse se déplacer sur une grande distance.