On place une lentille mince entre un objet lumineux \overline{AB} et un écran sur lequel se forme son image \overline{A'B'}. Le grandissement vaut -2, la distance \overline{AA'} est 18 cm.
Écrire la relation entre \overline{OA} et \overline{OA'}.
Le grandissement, comme indiqué dans l'énoncé, vaut -2.
Or le grandissement d'une lentille (grandeur algébrique sans unité) est donné par la relation :
\gamma= \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}
Ici, on obtient :
-2 = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}
-2\times \overline{OA} = \overline{OA'}
Le point objet A est 2 fois plus proche de l'origine que le point image A' soit algébriquement :
-2\times \overline{OA} = \overline{OA'}
Calculer les distances algébriques \overline{OA} et \overline{OA'}.
On sait que la distance \overline{AA'} est de 18 cm. Or, d'après la question précédente :
-2\times \overline{OA} = \overline{OA'}
On définit donc une seconde relation entre les distances \overline{OA} et \overline{OA'} :
\overline{AA'} = 18
\overline{AO} + \overline{OA'} = 18
-\overline{OA} + \overline{OA'} = 18
En utilisant la première relation dans la seconde (on résout un système de deux équations avec deux inconnues), on obtient :
-\overline{OA} -2\times \overline{OA} = 18
-3\times \overline{OA} = 18
\overline{OA} = \dfrac{18}{-3}
\overline{OA} = -6
Donc on en déduit que :
\overline{OA'} = 12
Les distances algébriques sont :
- \overline{OA} = -6
- \overline{OA'} = 12
Établir la relation permettant d'exprimer f' (soit \overline{OF'} ) en fonction de \overline{OA} et \overline{OA'}. À l'aide des résultats précédents, en déduire f'.
La relation de conjugaison s'écrit :
\dfrac{1}{\overline{OF'}} = - \dfrac{1}{\overline{OA}} + \dfrac{1}{\overline{OA'}}
On cherche ici à déterminer \overline{OF'} (qui correspond à f') donc il faut réarranger la relation de conjugaison :
\dfrac{1}{\overline{OF'}} = \dfrac{\overline{OA}-\overline{OA'}}{\overline{OA} \times \overline{OA'}}
\overline{OF'} = \dfrac{\overline{OA} \times \overline{OA'}}{\overline{OA}-\overline{OA'}}
Ce qui, en faisant l'application numérique (et en tenant compte du fait qu'il s'agit de grandeurs algébriques), donne :
\overline{OF'} = \dfrac{\left(-6\right) \times12}{-6-12}
\overline{OF'} = 4 cm
La distance focale f' est donc de 4 cm.
Faire un schéma de la situation.
Toutes les informations nécessaires à la schématisation de la situation ont été réunies dans les questions précédentes.
Avant de tracer les rayons
On commence par schématiser l'axe optique, la lentille, ses foyers image et objet :
- L'axe optique est représenté horizontalement et orienté vers la droite.
- La lentille est placée à l'origine de l'axe et symbolisée par un trait vertical doublement fléché (flèches orientées vers l'extérieur dans le cas d'une lentille convergente comme ici).
- Le foyer image F' est placé à une distance f' (donc 4 cm) sur l'axe optique après la lentille.
- Le foyer objet F est placé à une distance f' (donc 4 cm) sur l'axe optique avant la lentille.
La taille de l'objet AB n'étant pas imposée, on choisit, par exemple, 1 cm.
Tracer les rayons permettant d'obtenir l'image
L'image A' du point A est sur l'axe optique car A est sur l'axe optique.
Quant à l'image B' du point B, elle est obtenue en traçant les rayons caractéristiques :
- Le rayon incident passant par le foyer objet F émerge de la lentille parallèlement à l'axe optique. Il s'agit du rayon (1) sur le schéma.
- Le rayon incident parallèle à l'axe optique émerge de la lentille en passant par le foyer image F'. Il s'agit du rayon (2) sur le schéma.
- Le rayon passant par le centre optique O n'est pas dévié. Il s'agit du rayon (3) sur le schéma.
En supprimant les numéros de construction des rayons et en indiquant B' au croisement de ceux-ci ainsi qu'A' à sa verticale, on obtient :
