On souhaite déterminer la longueur d'un méridien à l'aide d'une triangularisation.
Quel est le principe de la mesure d'une distance par triangulation ?
Le principe de la mesure d'une distance par triangulation est d'« enfermer » la distance à mesurer dans une chaîne de triangles et de la déterminer à l'aide de mesures d'angles et de relations de trigonométrie.
Dans le triangle suivant, on désire déterminer la longueur du segment \left[ AM \right] :
Pour déterminer cette longueur, on a mesuré :
- la longueur du segment \left[ AC \right] ;
- les angles \widehat{A} et \widehat{C}.
Quelle est l'expression correcte de la longueur AM ?
Données : On sait que dans un triangle :
- La somme des angles est égale à 180°.
- Les longueurs des côtés et les angles sont liés par la loi des sinus : \dfrac{a}{\text{sin} \widehat{A}} = \dfrac{b}{\text{sin} \widehat{B}} = \dfrac{c}{\text{sin} \widehat{C}}.
Les mesures des angles \widehat{A} et \widehat{C} permettent de calculer l'angle \widehat{M} :
\widehat{M} = 180 – \widehat{A} – \widehat{C}
Et la loi des sinus permet d'exprimer la longueur AM :
AM = AC \times \dfrac{\text{sin}(\widehat{C})}{\text{sin}(\widehat{M})}
Au XVIIIe siècle, les astronomes français Delambre et Méchain ont déterminé par triangulation la distance séparant les villes Dunkerque et Barcelone :
Sachant que la distance qu'ils ont déterminés est de 1 090 km et que l'angle ayant pour sommet le centre de la Terre et sépare ces deux villes est 9,8°, quel est le calcul donnant la longueur d'un méridien ?
L'angle \overset{\frown}{DTB} correspond donc à une longueur de 1 090 km et un méridien terrestre correspond à un angle de 360°.
La longueur d'un méridien L peut être donc déterminée à l'aide d'un produit en croix :
L = \dfrac{360}{9{,}8°} \times \text{1 090} = 4{,}00 \times 10^4 \text{ km}
La longueur d'un méridien terrestre est L = 4{,}00 \times 10^4 \text{ km}, soit environ 40 000 km.