Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi.
L'objet tiré peut être « commun » ou « rare ».
Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.
Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :
- la probabilité de tirer un objet rare est de 7 % ;
- si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80 % ;
- si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40 %.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note :
- R l'événement « le joueur tire un objet rare » ;
- E l'événement « le joueur tire une épée » ;
- \overline{R} et \overline{E} les événements contraires des événements R et E.
Quel arbre pondéré modélise la situation ?
On sait que la probabilité de tirer un objet rare est de 7 %.
Donc P(R)=0{,}07.
On en déduit que :
P(\overline{R})=1-0{,}07=0{,}93
De plus, on sait que si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80 %.
Donc la probabilité de E sachant R est de 0,8.
On en déduit que la probabilité de \overline{E} sachant R est de 0,2.
Enfin, on sait que si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40 %.
Donc la probabilité de E sachant \overline{R} est de 0,4.
On en déduit que la probabilité de \overline{E} sachant \overline{R} est de 0,6.
L'arbre pondéré qui modélise la situation est le suivant :
Combien vaut P(R\cap E) ?
On sait que :
- P(R)=0{,}07
- P_R(E)=0{,}8
On a donc :
P(R \cap E ) = P(R) \times P_R(E ) = 0{,} 07 \times 0{,} 8 = 0{,} 056
P(R \cap E)=0{,}056
Quelle est la probabilité de tirer une épée ?
On sait que :
- P(\overline{R})=0{,}93
- P_\overline{R}(E)=0{,}4
On a donc :
P(\overline{R} \cap E)=P(\overline{R}) \times P_\overline{R}(E)=0{,}93 \times 0{,}4=0{,}372
On sait aussi que P(R \cap E)=0{,}056.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
P(E)=P(R \cap E)+P(\overline{R} \cap E)
On en déduit que :
P(E)=0{,}056+0{,}372=0{,}428
La probabilité de tirer une épée est égale à 0,428.
Le joueur a tiré une épée.
Quelle est la probabilité que ce soit un objet rare ?
On cherche à calculer la probabilité d'avoir un objet rare sachant qu'on a tiré une épée.
Autrement dit, on cherche à calculer P_E(R).
On a :
P_E(R)=\dfrac{P(E \cap R)}{P(E)}
Or, on sait que :
- P(E \cap R)=0{,}056
- P(E)=0{,}428
On en déduit :
P_E(R)=\dfrac{0{,}056}{0{,}428} \approx 0{,}131
Si le joueur a tiré une épée, la probabilité que ce soit un objet rare est d'environ 0,131.
Partie B
Un joueur remporte 30 défis.
On note X la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté 30 défis.
Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.
Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?
On sait que les tirages successifs sont indépendants.
On appelle un succès le fait d'obtenir un objet rare.
La variable aléatoire X compte le nombre de succès obtenus lors de 30 répétitions identiques et indépendantes d'un schéma de Bernoulli dont la probabilité du succès est P(R)=0{,}07.
Par conséquent, la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres 30 et 0,07.
La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres 30 et 0,07.
Quelle est l'espérance de la variable aléatoire X ?
L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p est égale à :
E=np
Ici, la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n=30 et p=0{,}07.
Son espérance est donc égale à :
E =30 \times 0{,}07 = 2{,}1
L'espérance de la variable aléatoire X est égale à 2,1.
Quel est un arrondi au millième de P(X \lt 6) ?
L'événement \left\{ X \lt 6 \right\} se décompose en événements élémentaires :
\left\{ X \lt 6 \right\}=\left\{ X =0 \right\} \cup \left\{ X =1 \right\} \cup \left\{ X =2 \right\} \cup\left\{ X =3 \right\} \cup\left\{ X =4 \right\}\cup \left\{ X =5 \right\}
On a alors :
P(X \lt 6)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
Comme la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres 30 et 0,07, on a pour tout entier naturel k :
P(X=k)=\begin{pmatrix} n \cr\cr k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k}
On a donc :
- P(X=0)=\begin{pmatrix} 30 \cr\cr 0 \end{pmatrix} 0{,}07^0(1-0{,}07)^{30-0} \approx 0{,}1134
- P(X=1)=\begin{pmatrix} 30 \cr\cr 1 \end{pmatrix} 0{,}07^1(1-0{,}07)^{30-1} \approx 0{,}2560
- P(X=2)=\begin{pmatrix} 30 \cr\cr 2 \end{pmatrix} 0{,}07^2(1-0{,}07)^{30-2} \approx 0{,}2794
- P(X=3)=\begin{pmatrix} 30 \cr\cr 3 \end{pmatrix} 0{,}07^3(1-0{,}07)^{30-3} \approx 0{,}1963
- P(X=4)=\begin{pmatrix} 30 \cr\cr 4 \end{pmatrix} 0{,}07^4(1-0{,}07)^{30-4} \approx 0{,}0997
- P(X=5)=\begin{pmatrix} 30 \cr\cr 5 \end{pmatrix} 0{,}07^5(1-0{,}07)^{30-5} \approx 0{,}0390
On obtient alors :
P(X \lt 6) \approx 0{,}1134 + 0{,}2560+0{,}2794+0{,}1963+0{,}0997+0{,}0390 = 0{,}9838
En arrondissant au millième, on obtient 0,984.
Un arrondi au millième de P(X \lt6) est 0,984.
Quelle est la plus grande valeur de k telle que P (X \geqslant k) \geqslant 0{,}5 ?
Pour tout entier naturel k, on a :
P(X\geqslant k)=1-P(X\lt k)
On sait que :
- P(X=0)=\begin{pmatrix} 30 \cr\cr 0 \end{pmatrix} 0{,}07^0(1-0{,}07)^{30-0} \approx 0{,}1134
- P(X=1)=\begin{pmatrix} 30 \cr\cr 1 \end{pmatrix} 0{,}07^1(1-0{,}07)^{30-1} \approx 0{,}2560
- P(X=2)=\begin{pmatrix} 30 \cr\cr 2 \end{pmatrix} 0{,}07^2(1-0{,}07)^{30-2} \approx 0{,}2794
On a donc :
P(X \lt 2)=P(X=0)+P(X=1) \approx 0{,}1134+0{,}256=0{,}3694
Ainsi, on obtient :
P(X\geqslant 2)=1-P(X\lt 2) \approx 1 -0{,}3694 =0{,}6306
Or,
0{,}6306\geqslant0{,}5
On en conclut que k=2.
La plus grande valeur de k telle que P (X \geqslant k) \geqslant 0{,}5 est 2.
Comment peut-on interpréter la réponse à la question précédente ?
La réponse à la question précédente peut s'interpréter ainsi :
La probabilité d'obtenir au moins 2 objets rares est supérieure à \dfrac{1}{2}.
Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un « ticket d'or » qui permet de tirer N objets.
La probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.
Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces N tirages soit supérieure ou égale à 0,95.
Quel est le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif ?
On note Y la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté N défis.
On sait que les tirages successifs sont indépendants.
On appelle un succès le fait d'obtenir un objet rare.
La variable aléatoire Y compte le nombre de succès obtenus lors de N répétitions identiques et indépendantes d'un schéma de Bernoulli dont la probabilité du succès est P(R)=0{,}07.
Par conséquent, la variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres N et 0,07.
On souhaite que la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces N tirages soit supérieure ou égale à 0,95.
Autrement dit, on souhaite avoir :
P(Y \geqslant 1) \geqslant 0{,}95
On a les équivalences suivantes :
P(Y \geqslant 1) \geqslant 0{,}95\\\Leftrightarrow 1-P(Y=0) \geqslant 0{,}95\\\Leftrightarrow P(Y=0) \leqslant 0{,}05
Or, on a :
P(Y=0)=\begin{pmatrix}N \cr\cr 0 \end{pmatrix}0{,}07^0(1-0{,}07)^{N-0}=0{,}93^N
Par conséquent, on a les équivalences suivantes :
P(Y=0) \leqslant 0{,}05\\\Leftrightarrow0{,}936^N \leqslant0{,}05\\
Par croissance de la fonction \ln, on a :
0{,}936^N \leqslant 0{,}05\\\Leftrightarrow N \ln 0{,}936 \leqslant ln( 0{,}05)
Or, \ln 0{,}936 \lt 0.
Donc :
N \ln 0{,}936 \leqslant \ln 0{,}05\\\Leftrightarrow N \geqslant \dfrac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}936}
Or, on a :
\dfrac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}936} \approx 41{,}3
On en déduit donc que N \geqslant 42 .
On en conclut qu'à partir de 42 succès, la probabilité d'obtenir un objet rare est supérieure ou égale à 0,95.
Le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre l'objectif est 42.