Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles.
Partie A
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».
Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?
Les lancers successifs sont supposés indépendants.
On appelle un succès le fait que la pièce retombe du côté « Face ».
La variable aléatoire X compte le nombre de succès obtenus lors de 3 répétitions identiques et indépendantes d'un schéma de Bernoulli dont la probabilité du succès est \dfrac{1}{2}.
Par conséquent, la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres 3 et \dfrac{1}{2}.
La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres 3 et \dfrac{1}{2}.
Quel tableau donne la loi de probabilité de X ?
Si Y est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors on a pour tout entier k :
P(Y=k)=\begin{pmatrix} n \cr\cr k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k}
On sait que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres 3 et \dfrac{1}{2}.
On a donc pour tout entier k :
P(X=k)=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr k \end{pmatrix} \left( \dfrac{1}{2} \right)^k(1-\dfrac{1}{2})^{3-k}=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr k \end{pmatrix} \left( \dfrac{1}{2} \right)^3=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr k \end{pmatrix} \times \dfrac{1}{8}
Par conséquent :
- P(X=0)=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 0 \end{pmatrix} \times \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{8}
- P(X=1)=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 1 \end{pmatrix} \times \dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}
- P(X=2)=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix} \times \dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}
- P(X=3)=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 \end{pmatrix} \times \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{8}
Le tableau qui donne la loi de probabilité de la variable aléatoire X est le suivant :
Partie B
Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais :
- On lance trois pièces équilibrées :
- si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée ;
- sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté « Pile ».
- La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue.
On considère les événements suivants :
- G : « la partie est gagnée ».
Et pour tout entier k compris entre 0 et 3, les événements :
- A_k : « k pièces sont tombées du côté "Face" au premier lancer ».
Combien vaut P_{A_1}(G) ?
P_{A_1} (G) est la probabilité de l'événement « on a gagné sachant que lors du premier lancer, on a obtenu une fois "Face" ».
C'est donc la probabilité qu'au deuxième lancer, les deux pièces tombent sur « Face ».
Il y a 4 résultats équiprobables possibles :
- « Pile » et « Pile »
- « Pile » et « Face »
- « Face » et « Pile »
- « Face » et « Face »
« Face » et « Face » est le seul résultat est favorable.
La probabilité cherchée est donc égale à \dfrac{1}{4}.
P_{A_1}(G)=\dfrac{1}{4}
Quel arbre pondéré modélise la situation ?
On sait que :
P_{A_1}(G)=\dfrac{1}{4}
On en déduit que :
P_{A_1}(\overline{G})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}
On veut déterminer P_{A_0}(G), la probabilité de l'événement « on a gagné sachant que lors du premier lancer, on n'a obtenu aucune fois "Face" ».
C'est donc la probabilité qu'au deuxième lancer, les trois pièces tombent sur « Face ».
Il y a 8 résultats équiprobables possibles :
PPP - PPF - PFP - PFF - FPP - FPF - FFP - FFF
FFF est le seul résultat est favorable.
Donc P_{A_0}(G)=\dfrac{1}{8}.
On en déduit que :
P_{A_0}(\overline{G})=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}
On veut ensuite déterminer P_{A_2}(G), la probabilité de l'événement « on a gagné sachant que lors du premier lancer, on a obtenu deux fois "Face" ».
C'est donc la probabilité qu'au deuxième lancer, la pièce tombe sur « Face ».
Donc P_{A_2}(G)=\dfrac{1}{2}.
On en déduit que :
P_{A_2}(\overline{G})=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}
On veut enfin déterminer P_{A_3}(G), la probabilité de l'événement « on a gagné sachant que lors du premier lancer, on a obtenu trois fois "Face" ».
Dans ce cas, il n'y a pas de second lancer. On a gagné dès le premier lancer.
Donc P_{A_3}(G)=1.
L'arbre pondéré qui modélise la situation est le suivant :
Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu ?
Notons p la probabilité de gagner à ce jeu.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
p=P(A_0) \times P_{A_0}(G)+P(A_1) \times P_{A_1}(G)+P(A_2) \times P_{A_2}(G)+P(A_3) \times P_{A_3}(G)
En remplaçant par les valeurs qui apparaissent dans l'arbre pondéré trouvé précédemment, on obtient :
p=\dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8} \times \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8} \times 1\\p=\dfrac{1}{64}+\dfrac{3}{32}+\dfrac{3}{16}+\dfrac{1}{8}\\p=\dfrac{1}{64}+\dfrac{6}{64}+\dfrac{12}{64}+\dfrac{8}{64}\\p=\dfrac{27}{64}
La probabilité de gagner à ce jeu est de \dfrac{27}{64}.
La partie a été gagnée.
Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?
On cherche à calculer ici P_G(A_1).
On a :
P_G(A_1)=\dfrac{P(G \cap A_1)}{P(G)}
Or, on a :
P(G \cap A_1)=\dfrac{3}{8} \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{32}
Et on sait que :
P(G)=\dfrac{27}{64}
Par conséquent :
P_G(A_1)=\dfrac{\dfrac{3}{32}}{\dfrac{27}{64}}=\dfrac{3}{32} \times \dfrac{64}{27}=\dfrac{6}{27}=\dfrac{2}{9}
La probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative sachant que la partie a été gagnée est de \dfrac{2}{9}.
Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse 0,95 ?
Notons N le nombre de parties jouées.
On note Y la variable aléatoire correspondant au nombre de parties gagnées pour N parties jouées.
On sait que les parties sont indépendantes.
On appelle un succès le fait de gagner une partie.
La variable aléatoire Y compte le nombre de succès obtenus lors de N répétitions identiques et indépendantes d'un schéma de Bernoulli dont la probabilité du succès est p=\dfrac{27}{64} .
Par conséquent, la variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres N et \dfrac{27}{64}.
On souhaite que la probabilité de gagner au moins une partie lors de ces N parties soit supérieure ou égale à 0,95.
Autrement dit, on souhaite avoir : P(Y\geqslant1)\geqslant0{,}95 .
On a les équivalences suivantes :
P(Y\geqslant1)\geqslant0{,}95\\\Leftrightarrow 1- P(Y=0)\geqslant0{,}95\\\Leftrightarrow P(Y=0)\leqslant0{,}05
Or, on a :
P(Y=0)=\begin{pmatrix} N \cr\cr 0 \end{pmatrix} \left( \dfrac{27}{64} \right)^0\left(1- \dfrac{27}{64} \right)^{N-0}=\left( \dfrac{37}{64} \right)^N
Par conséquent, on a les équivalences suivantes :
P(Y=0)\leqslant0{,}05\\\Leftrightarrow \left( \dfrac{37}{64} \right)^N \leqslant0{,}05\\
Par croissance de la fonction \ln, on a :
P(Y=0)\leqslant0{,}05\\\Leftrightarrow \left( ln(\dfrac{37}{64}) \right)^N \leqslant ln (0{,}05)\\\Leftrightarrow \left( N\times ln(\dfrac{37}{64}) \right) \leqslant ln (0{,}05)\\
Or, \ln \left( \dfrac{37}{64} \right) \lt 0 .
Donc :
N \ln \left( \dfrac{37}{64} \right) \leqslant \ln 0{,}05\\\Leftrightarrow N \geqslant \dfrac{\ln 0{,}05}{\ln \left( \dfrac{37}{64} \right)}
Or, on a :
\dfrac{\ln 0{,}05}{\ln \left( \dfrac{37}{64} \right)} \approx5{,}47
On en déduit donc que N \geqslant 6 .
On en conclut qu'il faut au moins jouer 6 parties pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit supérieure ou égale à 0,95.
Il faut jouer à ce jeu au moins 6 fois pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse 0,95.