Partie A
On définit la fonction f sur l'intervalle [0;1] par :
f(x)=\dfrac{0{,}96x}{0{,}93x+0{,}03}
Pour tout x appartenant à l'intervalle [0;1], à quoi f'(x) est-elle égale ?
On sait que pour tout x \in [0;1] on a :
f(x)=\dfrac{0{,}96x}{0{,}93x+0{,}03}
La fonction f est dérivable sur l'intervalle [0;1] et pour tout x \in [0;1] on a :
f'(x)=\dfrac{0{,}96 \times (0{,}93x+0{,}03)-0{,}96x \times 0{,}93}{(0{,}93x+0{,}03)^2}=\dfrac{0{,}0288}{(0{,}93x+0{,}03)^2}
Pour tout x appartenant à l'intervalle [0;1], f'(x) est égal à - \dfrac{0{,}0288}{(0{,}93x+0{,}03)^2}.
Quel est le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0; 1] ?
On sait que pour tout x \in [0;1] on a :
f'(x)= \dfrac{0{,}0288}{(0{,}93x+0{,}03)^2}
Or, pour tout x \in [0;1], (0{,}93x+0{,}03)^2 est strictement positif.
On en déduit que pour tout x \in [0;1], \dfrac{0{,}0288}{(0{,}93x+0{,}03)^2} est strictement positif.
On en conclut que pour tout x \in [0;1], on a : f'(x) \gt 0.
Par conséquent, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0;1].
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0;1].
Partie B
La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d'une compétition rassemblant 1 000 sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d'étudier la fiabilité de ce test.
On appelle x le réel compris entre 0 et 1 qui désigne la proportion de sportifs dopés. Lors de l'élaboration de ce test, on a pu déterminer que :
- la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il est dopé est égale à 0,96 ;
- la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il n'est pas dopé est égale à 0,03.
On note :
- D l'événement : « le sportif est dopé ».
- T l'événement : « le test est positif ».
Quel arbre de probabilité représente la situation exposée ?
x désigne la proportion de sportifs dopés donc c'est la probabilité p(D) que le sportif soit dopé.
Ainsi, p(D)=x et p(\overline{D})=1-p(D)=1-x.
On sait que la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il est dopé est égale à 0,96.
Autrement dit, la probabilité de T sachant D est égale à 0,96.
On en déduit que la probabilité de \overline{T} sachant D est égale à 1 - 0{,}96 = 0{,}04.
Par ailleurs, on sait que la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il n'est pas dopé est égale à 0,03.
Autrement dit, la probabilité de T sachant \overline{D} est égale à 0,03.
On en déduit que la probabilité de \overline{T} sachant \overline{D} est égale à 1 - 0{,}03 = 0{,}97.
L'arbre de probabilité qui représente la situation est le suivant :
Quelle est, en fonction de x, la probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif ?
On cherche la probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif.
Autrement dit, on veut déterminer P(D \cap T).
On a :
P(D \cap T)=P(D) \times P_D(T)
Or, on a :
- P(D)=x
- P_D(T)=0{,}96
On en déduit que :
P(D \cap T)=x \times 0{,}96=0{,}96x
La probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif est égale à 0{,}96x.
Comment s'exprime la probabilité de l'événement T ?
Les événements D et \overline{D} partitionnent l'univers.
D'après la loi des probabilités totales, on a :
P(T)=P(D \cap T)+P(\overline{D} \cap T)
Or, on a, d'après la question précédente :
P(D \cap T)=0{,}96x
Par ailleurs, on a :
P(\overline{D} \cap T)=P(\overline{D}) \times P_{\overline{D}}(T)=0{,}03 \times (1-x)
Par conséquent :
P(T)=0{,}96x+0{,}03 \times (1-x)\\=0{,}93x+0{,}03
P(T ) = P(D ∩T )+P(D ∩T ) = 0{,}96x +(1- x)×0{,}03 = 0{,}96x +0{,}03-0{,}03x = 0{,}93x +0{,}03
La probabilité de l'événement T s'exprime ainsi : 0{,}93x+0{,}03.
Pour cette question uniquement, on suppose qu'il y a 50 sportifs dopés parmi les 1 000 testés.
La fonction f désigne la fonction définie dans la partie A.
Que vaut la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif ?
On cherche la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif.
Autrement dit on cherche à déterminer P_T(D).
On a :
P_T(D)=\dfrac{P(D \cap T)}{P(T)}
Or, on sait que :
- P(D \cap T)=0{,}96x
- P(T)=0{,}93x+0{,}03
On en déduit que :
P_T(D)=\dfrac{0{,}96x}{0{,}93x+0{,}03}
Or, pour tout x \in [0;1], on sait que :
f(x)=\dfrac{0{,}96x}{0{,}93x+0{,}03}
Ainsi, on a :
P_T(D)=f(x)
On sait que le réel x est compris entre 0 et 1 qui désigne la proportion de sportifs dopés.
Ici, on suppose qu'il y a 50 sportifs dopés parmi les 1 000 testés.
Par conséquent :
x=\dfrac{50}{1\ 000}=0{,}05
On en conclut que :
P_T(D)=f(0{,}05)
La probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à f(0{,}05).
Quelle est la valeur arrondie au centième de la probabilité calculée à la question précédente ?
On calcule f(0{,}05) :
f(0{,}05)=\dfrac{0{,}96 \times 0{,}05}{0{,}93 \times 0{,}05+0{,}03}\\=\dfrac{0{,}048}{0{,}0765}\\\approx 0{,}63
La valeur arrondie au centième de la probabilité calculée à la question précédente est d'environ 0,63.
On appelle valeur prédictive positive d'un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
À partir de quelle valeur de x la valeur prédictive positive du test étudié sera-t-elle supérieure ou égale à 0,9 ?
La valeur prédictive positive du test est donc la probabilité P_T(D).
Or, pour toute probabilité x dans l'intervalle [0;1], on a :
P_T(D)=f(x)
On veut donc résoudre l'inéquation f(x) \geqslant 0{,}9 dans [0;1].
Pour tout x \in [0;1], on a :
0{,}93x+0{,}03 \gt 0
Donc pour tout x \in [0;1], on a les équivalences suivantes :
f(x) \geqslant 0{,}9\\\Leftrightarrow \dfrac{0{,}96x}{0{,}93x+0{,}03}\geqslant 0{,}9\\\Leftrightarrow 0{,}96x \geqslant 0{,}9 \times (0{,}93x+0{,}03)\\\Leftrightarrow 0{,}96x \geqslant 0{,}837x+0{,}027\\\Leftrightarrow 0{,}123x \geqslant 0{,}027\\\Leftrightarrow x \geqslant \dfrac {0{,}027}{0{,}123}
Or, \dfrac{0{,}027}{0{,}123} \approx 0{,}22.
On en conclut que la valeur prédictive positive du test sera supérieure ou égale à 0,9 pour x supérieur ou égal à environ 0,22.
La valeur à partir de laquelle la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à 0,9 est d'environ 0,22.
Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l'ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés.
Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ?
Les sportifs les plus performants sont supposés plus fréquemment dopés.
Donc, si on restreint la population testée aux sportifs les plus performants, alors la proportion x de sportifs dopés dans la population testée sera plus importante.
Or, on sait que la valeur prédictive positive est égale à f(x).
Et on sait que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 1].
Par conséquent, plus x augmente, plus f (x) augmente.
On en conclut que la valeur prédictive positive du test sera meilleure.
La fonction prédictive positive du test sera meilleure.