Partie A
On définit la fonction f sur l'intervalle [0;1] par :
f(x)=\dfrac{0{,}96x}{0{,}93x+0{,}03}
Pour tout x appartenant à l'intervalle [0;1], à quoi f'(x) est-elle égale ?
Quel est le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0; 1] ?
Partie B
La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d'une compétition rassemblant 1 000 sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d'étudier la fiabilité de ce test.
On appelle x le réel compris entre 0 et 1 qui désigne la proportion de sportifs dopés. Lors de l'élaboration de ce test, on a pu déterminer que :
- la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il est dopé est égale à 0,96 ;
- la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il n'est pas dopé est égale à 0,03.
On note :
- D l'événement : « le sportif est dopé ».
- T l'événement : « le test est positif ».
Quel arbre de probabilité représente la situation exposée ?
Quelle est, en fonction de x, la probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif ?
Comment s'exprime la probabilité de l'événement T ?
Pour cette question uniquement, on suppose qu'il y a 50 sportifs dopés parmi les 1 000 testés.
La fonction f désigne la fonction définie dans la partie A.
Que vaut la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif ?
Quelle est la valeur arrondie au centième de la probabilité calculée à la question précédente ?
On appelle valeur prédictive positive d'un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
À partir de quelle valeur de x la valeur prédictive positive du test étudié sera-t-elle supérieure ou égale à 0,9 ?
Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l'ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés.
Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ?