Dans la revue Lancet Public Health, les chercheurs affirment qu'au 11 mai 2020, 5,7 % des adultes français avaient déjà été infectés par le Covid-19. (Source : https://www.thelancet.com/journals/lanpub/article/PIIS2468-2667 (21) 00064-5/fulltext)
On se servira de cette donnée pour les parties A et B de cet exercice.
Partie A
On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020.
On note I l'événement : « l'adulte a déjà été infecté par le Covid-19 ».
Quelle est la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par le Covid-19 ?
On prélève un échantillon de 100 personnes de la population supposées choisies de façon indépendante les unes des autres.
On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.
Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
Quelle est l'espérance mathématique de X ?
Comment peut-on interpréter l'espérance de X ?
Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucune personne infectée dans l'échantillon ?
Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 2 personnes infectées dans l'échantillon ?
Quel est le plus petit entier n tel que P (X \leqslant n) \gt 0{,}9 ?
Comment interpréter la réponse à la question précédente ?
Partie B
Un test a été mis en place : celui-ci permet de déterminer (même longtemps après l'infection) si une personne a ou non déjà été infectée par le Covid-19. Si le test est positif, cela signifie que la personne a déjà été infectée par le Covid-19.
Deux paramètres permettent de caractériser ce test : sa sensibilité et sa spécificité.
La sensibilité d'un test est la probabilité qu'il soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie. (II s'agit donc d'un vrai positif.)
La spécificité d'un test est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n'a pas été infectée par la maladie. (II s'agit donc d'un vrai négatif.)
Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes :
- Sa sensibilité est de 0,8.
- Sa spécificité est de 0,99.
On prélève un individu soumis au test dans la population française adulte au 11 mai 2020.
On note T l'événement « le test réalisé est positif ».
Quel arbre de probabilités modélise la situation ?
Combien vaut P(T) ?
Quelle est la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif ?
Partie C
On considère un groupe d'une population d'un autre pays soumis au même test de sensibilité 0,8 et de spécificité 0,99.
Dans ce groupe, la proportion d'individus ayant un test positif est de 29,44 %.
On choisit au hasard un individu de ce groupe.
Quelle est la probabilité qu'il ait été infecté ?