Asie 2024, Etude de la covid 19 Exercice type bac

On sait que 5,7 % des adultes ont déjà été infectés.

Donc la probabilité que l'individu choisi ait déjà été infecté est de P (I ) =\dfrac{5{,}7}{100} = 0{,}057.

On a une épreuve de Bernoulli, dont le succès : « l'individu choisi a déjà été infecté » a une probabilité p = 0{,}057.

On répète cette épreuve 100 fois.

On sait que prélèvement des 100 individus est assimilé à un tirage avec remise.

Par conséquent, l'épreuve est répétée 100 fois de manière identique et indépendante.

X est une variable aléatoire qui compte le nombre de succès parmi ces répétitions.

On en déduit que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres N = 100 et p = 0{,}057.

On sait que X la loi binomiale de paramètres N = 100 et p = 0{,}057.

Son espérance est donc égale à :

E(X)=np=100 \times 0{,}057=5{,}7

On sait que l'espérance mathématique de X est égale à 5,7.

Cela signifie que dans un échantillon de 100 personnes, en moyenne 5,7 d'entre elles avaient déjà été infectées.

On veut calculer la probabilité qu'il n'y ait aucune personne infectée dans l'échantillon.

Autrement dit, on veut calculer P(X=0).

Or, on sait que X suit la loi binomiale de paramètres N = 100 et p = 0{,}057.

On a donc pour tout entier naturel k :

P(X=k)=\begin{pmatrix} 100 \cr\cr k \end{pmatrix} 0{,}057^k (1-0{,}057)^{100-k}

Par conséquent :

P(X=0)=\begin{pmatrix} 100 \cr\cr 0 \end{pmatrix} 0{,}057^0 (1-0{,}057)^{100-0}=0{,}943^{100} \approx 0{,}0028.

On veut calculer la probabilité qu'il y ait au moins 2 personnes infectées dans l'échantillon.

Autrement dit, on veut calculer P(X \geqslant 2).

On a :

P(X \geqslant 2) = 1 - P(X \lt 2)= 1 - (P(X=0)+P(X=1))

Or, on sait que X suit la loi binomiale de paramètres N = 100 et p = 0{,}057.

On a donc pour tout entier naturel k :

P(X=k)=\begin{pmatrix} 100 \cr\cr k \end{pmatrix} 0{,}057^k (1-0{,}057)^{100-k}

On déjà calculé P(X=0).

On calcule P(X=1) :

P(X=1)=\begin{pmatrix} 100 \cr\cr 1 \end{pmatrix} 0{,}057^1 (1-0{,}057)^{100-1}=100 \times 0{,}057 \times 0{,}943^{99} \approx 0{,}0171.

On obtient ainsi :

1 - (P(X=0)+P(X=1)) \approx 1 - 0{,}0028 - 0{,}171 = 0{,}9801

On en conclut que :

P(X \geqslant 2) \approx 0{,}9801

Avec la calculatrice, on obtient successivement :

• P (X \leqslant 1) \approx 0{,}0199
• P (X \leqslant 2) \approx 0{,}071
• P (X \leqslant 3) \approx 0{,}1719
• P (X \leqslant 4) \approx 0{,}3199
• P (X \leqslant 5) \approx 0{,}4915
• P (X \leqslant 6) \approx 0{,}6558
• P (X \leqslant 7) \approx 0{,}7892
• P (X \leqslant 8) \approx 0{,}8829
• P (X \leqslant 9) \approx 0{,}9408

On observe que P (X \leqslant 8) \lt 0{,}9 et que P (X \leqslant 9) \gt 0{,}9.

On en déduit que le plus petit entier n tel que P (X \leqslant n) \gt 0{,}9 est 9.

On sait que :

P(I)=0{,}057

On en déduit que :

P(\overline{I})=1-0{,}057=0{,}943

On sait par ailleurs que :

La probabilité que le test soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie est de 0,8.

Autrement dit, on a :

P_I(T)=0{,}8

On en déduit que :

P_I(\overline{T})=1-0{,}8=0{,}2

On sait également que :

La probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n'a pas été infectée par la maladie est de 0,99.

Autrement dit, on a :

P_{\overline{I}}(\overline{T})=0{,}99

On en déduit que :

P_{\overline{I}}(T)=1-0{,}99=0{,}01

D'après la formule des probabilités totales, on a :

P(T)=P(I \cap T)+P(\overline{I} \cap T)

Or, on a :

• P(I \cap T)=P_I(T) \times P(I) = 0{,}8 \times 0{,}057=0{,}0456
• P(\overline{I} \cap T )=P_\overline{I}(T) \times P(\overline{I}) = 0{,}01 \times 0{,}943=0{,}00943

On en déduit que :

P(T)=0{,}0456+0{,}00943=0{,}05503

On cherche la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif.

Autrement dit, on cherche à calculer P_T(I).

On a :

P_T(I)=\dfrac{P(I \cap T)}{P(T)}

Or :

• P(I \cap T)=0{,}0456
• P(T)=0{,}055 03

On en déduit que :

P_T(I)=\dfrac{0{,}0456}{0{,}05503} \approx 0{,}8286

On cherche à calculer la probabilité que l'individu ait été infecté.

Autrement dit, on cherche à calculer P(I).

On sait par hypothèse que le test est le même.

Sa sensibilité et sa spécificité sont les mêmes.

Seule la probabilité d'avoir été préalablement infecté est modifiée.

Cette probabilité n'est pas connue. On la note x.

On a donc l'arbre de probabilités suivant :

D'après la formule des probabilités totales, on a :

P(T)=P(I \cap T)+P(\overline{I} \cap T)

Or, on a :

• P(I \cap T)=P_I(T) \times P(I) = 0{,}8 \times x=0{,}8x
• P(\overline{I} \cap T )=P_\overline{I}(T) \times P(\overline{I}) = 0{,}01 \times (1-x)

On en déduit que :

P(T)=0{,}8x+0{,}01 \times (1-x)=0{,}79x+0{,}01

Par ailleurs, on sait par hypothèse que 29,44 % des gens ont un test positif.

Autrement dit :

P(T)=0{,}2944

On obtient ainsi l'équation d'inconnue x suivante :

0{,}79x+0{,}01=0{,}2944

Cette équation a pour solution :

x=\dfrac{0{,}2844}{0{,}79}=0{,}36

On en conclut que :

P(I)=0{,}36