Les deux parties sont indépendantes.
Un laboratoire fabrique un médicament conditionné sous forme de cachets.
Partie A
Un contrôle de qualité, portant sur la masse des cachets, a montré que 2 % des cachets ont une masse non conforme.
Ces cachets sont conditionnés par boîtes de 100 choisis au hasard dans la chaîne de production.
On admet que la conformité d'un cachet est indépendante de celle des autres.
On note N la variable aléatoire qui à chaque boîte de 100 cachets associe le nombre de cachets non conformes dans cette boîte.
Quelle loi suit la variable aléatoire N ?
La conformité d'un cachet est indépendante de celle des autres.
On appelle un succès le fait qu'un cachet ne soit pas conforme.
On sait que 2 % des cachets ne sont pas conformes.
Autrement dit, la probabilité qu'un cachet ne soit pas conforme est de 0,02.
La variable aléatoire N compte le nombre de succès obtenus lors de 100 répétitions identiques et indépendantes d'un schéma de Bernoulli dont la probabilité du succès est 0,02.
Par conséquent, la variable aléatoire N suit une loi binomiale de paramètres 100 et 0,02.
La variable aléatoire N suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0{,}02.
Quelle est l'espérance de la variable aléatoire N ?
On sait que l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p est égale à np.
Ici, la variable aléatoire N suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0{,}02.
Par conséquent, l'espérance de N est égale à :
100 \times 0{,}02=2
L'espérance de la variable aléatoire N est égale à 2.
Comment peut-on interpréter l'espérance de la variable aléatoire N ?
L'espérance de la variable aléatoire N peut s'interpréter de la manière suivante :
Il y a en moyenne 2 cachets non conformes par boîte.
Quelle est la probabilité qu'une boîte contienne exactement trois cachets non conformes ?
Si X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors on a pour tout entier naturel k :
P(X=k)=\begin{pmatrix} n \cr\cr k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k}
On sait que la variable aléatoire N suit une loi binomiale de paramètres 100 et 0,02 .
On a donc pour tout entier k :
P(N=k)=\begin{pmatrix} 100 \cr\cr k \end{pmatrix} 0{,}02^k(1-0{,}02)^{100-k}
On cherche la probabilité que la boîte contienne exactement 3 cachets non conformes.
Autrement dit, on cherche à calculer P(N=3).
On a :
P(N=3)=\begin{pmatrix} 100 \cr\cr 3 \end{pmatrix} 0{,}02^3(1-0{,}02)^{100-3}\\=\begin{pmatrix} 100 \cr\cr 3 \end{pmatrix} 0{,}02^3 \times 0{,}98^{97}\\\approx 0{,}182
La probabilité qu'une boîte contienne exactement trois cachets non conformes est d'environ 0,182.
Quelle est la probabilité qu'une boîte contienne au moins 95 cachets conformes ?
On cherche la probabilité qu'une boîte contienne au moins 95 cachets conformes.
Cela revient à chercher la probabilité qu'une boîte contienne au plus 5 cachets non conformes.
Autrement dit, on cherche à calculer P(X \leqslant 5).
Avec la calculatrice, on obtient :
P(X \leqslant 5) \approx 0{,}985
La probabilité qu'une boîte contienne au moins 95 cachets conformes est d'environ 0,985.
Le directeur du laboratoire veut modifier le nombre de cachets par boîte pour pouvoir affirmer : « La probabilité qu'une boîte ne contienne que des cachets conformes est supérieure à 0,5 ».
Combien de cachets une boîte doit-elle contenir au maximum pour respecter ce critère ?
Le directeur du laboratoire veut modifier le nombre de cachets par boîte.
Il veut donc modifier le paramètre n de la loi binomiale de sorte que la probabilité qu'une boîte ne contienne que des cachets conformes soit supérieure à 0,5.
Autrement dit, on cherche à déterminer le paramètre n de sorte que P(N=0) \gt 0{,}5.
Or, on a :
P(N=0)=\begin{pmatrix} n \cr\cr 0 \end{pmatrix} 0{,}02^0 \times(1-0{,}02)^{n-0}=0{,}98^{n}.
On est donc amené à résoudre l'inéquation suivante :
0{,}98^n \gt 0{,}5
Par croissance de la fonction \ln, on a :
0{,}98^n \gt 0{,}5 \Leftrightarrow \ln(0{,}98^n) \gt \ln(0{,}5)
Puis on a :
\ln(0{,}98^n) \gt \ln(0{,}5)\Leftrightarrow n \ln (0{,}98) \gt \ln (0{,}5).
Or, \ln(0{,}98) \lt 0.
Donc :
n \ln (0{,}98) \gt \ln (0{,}5) \Leftrightarrow n \lt \dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}98)}
Et comme \dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}98)} \approx 34{,}3, on en déduit que n \leqslant 34.
Le nombre de cachets qu'une boîte doit contenir au maximum pour respecter ce critère est de 34.
Partie B
On admet que les masses des cachets sont indépendantes les unes des autres.
On prélève 100 cachets et on note M_i, pour i entier naturel compris entre 1 et 100, la variable aléatoire qui donne la masse en gramme du i -ème cachet prélevé.
On considère la variable aléatoire S définie par :
S=M_1+M_2+...+M_{100}
On admet que les variables aléatoires M_1, M_2, . . ., M_{100} suivent la même loi de probabilité d'espérance \mu =2 et d'écart type \sigma.
Combien vaut E(S) ?
Pour tout entier naturel i compris entre 1 et 100, la variable aléatoire M_i suit une loi de probabilité d'espérance \mu = 2.
On sait que :
S=M_1+M_2+...+M_{100}
On utilise la linéarité de l'espérance et on obtient :
E (S) \\= E (M_1 + M_2 + . . . + M_100) \\= E (M_1) + E (M_2) + . . . + E (M_{100}) \\= 100 \times 2 \\= 200
E(S) est égale à 200.
Comment peut-on interpréter le résultat de la question précédente ?
Le résultat de la question précédente peut s'interpréter ainsi : « La masse des 100 cachets est en moyenne de 200 grammes ».
On note s l'écart type de la variable aléatoire S.
Combien vaut s ?
Pour tout entier naturel i compris entre 1 et 100, la variable aléatoire M_i suit une loi de probabilité d'écart-type \sigma, donc de variance égale à :
V(M_i)=\sigma^2
On sait que : S=M_1+M_2+...+M_{100} et que les variables aléatoires M_i sont indépendantes.
On en déduit que :
V (S) \\= V (M_1 + M_2 + . . . + M_{100}) \\= V (M_1) + V (M_2) + . . . + V (M_{100}) \\= 100 \sigma^2
On sait que
s=\sqrt{V(S)}
Par conséquent :
s=\sqrt{100\sigma^2}=10\sigma
s=10 \sigma
On souhaite que la masse totale, en grammes, des comprimés contenus dans une boîte soit strictement comprise entre 199 et 201 avec une probabilité au moins égale à 0,9.
À quoi cette condition est-elle équivalente ?
On souhaite que la masse totale, en grammes, des comprimés contenus dans une boîte soit strictement comprise entre 199 et 201 avec une probabilité au moins égale à 0,9.
Autrement dit, on souhaite que :
P(199 \lt S \lt 201) \geqslant 0{,}9
Or, on a les équivalences suivantes :
199 \lt S \lt 201\\\Leftrightarrow199-200 \lt S-200 \lt 201-200\\\Leftrightarrow-1 \lt S-200 \lt 1\\\Leftrightarrow \left| S-200 \right| \lt 1
Par conséquent, la condition P(199 \lt S \lt 201) \geqslant 0{,}9 est équivalente à la condition P(\left| S-200 \right| \lt 1) \geqslant 0{,}9.
L'événement contraire de l'événement \left\{ \left| S-200 \right| \lt 1 \right\} est l'événement \left\{ \left| S-200 \right| \geqslant 1 \right\}.
On a donc les équivalences suivantes :
P(\left| S-200 \right| \lt 1) \geqslant 0{,}9\\\Leftrightarrow 1-P(\left| S-200 \right| \lt 1) \leqslant 1-0{,}9\\\Leftrightarrow P(\left| S-200 \right| \geqslant 1) \leqslant 0{,}1
La condition énoncée est équivalente à P(\left| S-200 \right| \geqslant 1) \leqslant 0{,}1.
Quelle est la valeur maximale de \sigma qui permet d'assurer cette condition ?
On utilisera l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
On sait que la variable aléatoire S a pour espérance E (S) = 200 et pour variance V (S) =100 \sigma^2.
On cherche \sigma de sorte que P(\left| S-200 \right| \geqslant 1) \leqslant 0{,}1.
Or, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a :
Pour tout réel a strictement positif, P(\left| S-E(S) \right|\geqslant a) \leqslant \dfrac{V(S)}{a^2}.
On en déduit qu'ici, on a :
Pour tout réel a strictement positif, P(\left| S-200 \right|\geqslant a) \leqslant \dfrac{100 \sigma^2}{a^2}.
Pour a=1, on obtient :
P(\left| S-200 \right|\geqslant 1) \leqslant 100 \sigma^2.
Pour que la condition P(\left| S-200 \right| \geqslant 1) \leqslant 0{,}1 soit remplie, il suffit que :
100 \sigma^2 \leqslant 0{,}1
Autrement dit, il suffit que :
\sigma^2 \leqslant \dfrac{0{,}1}{100}
Et finalement, il suffit que :
\sigma^2 \leqslant 10^{-3}
En conclusion, la valeur maximale de \sigma qui permet d'assurer la condition requise est :
\sigma = \sqrt{10^{-3}} \approx 0{,}0316
La valeur maximale de \sigma qui permet d'assurer cette condition est d'environ 0,0316.