Métropole 2024, Une étude de satisfaction Exercice type bac

On sait que :

• les achats sur Internet représentent 60 % des ventes ;
• les achats en magasins d'électroménager 30 % des ventes ;
• les achats en grandes surfaces 10 % des ventes.

On a donc :

• P(I)=0{,}6
• P(M)=0{,}3
• P(S)=0{,}1

On sait également que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de :

• 75 % pour les clients sur Internet ;
• 90 % pour les clients en magasins d'électroménager ;
• 80 % pour les clients en grandes surfaces.

Donc on a :

• P_I(S)=0{,}75
• P_M(S)=0{,}9
• P_G(S)=0{,}8

On en déduit que :

• P_I(\overline{S})=1-0{,}75=0{,}25
• P_M(\overline{S})=1-0{,}9=0{,}1
• P_G(\overline{S})=1-0{,}8=0{,}2

La probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle est P(I \cap S).

On a :

P_I(S)=\dfrac{P(I \cap S)}{P(I)}

D'où :

P(I \cap S)= P(I) \times P_I(S)

Or, on sait que :

• P(I)=0{,}6
• P_I(S)=0{,}75

On en déduit que :

P(I \cap S)= 0{,}6 \times 0{,}75 = 0{,}45

On sait que :

P(I \cap S)=0{,}45

On a également :

• P(M \cap S)= P(M) \times P_M(S)=0{,}3 \times 0{,}9=0{,}27
• P(G \cap S)= P(G) \times P_G(S)=0{,}1 \times 0{,}8=0{,}08

D'après la formule des probabilités totales, on a :

P(S)=P(I \cap S)+P(M \cap S)+P(G \cap S)

On en déduit que :

P(S)=0{,}45+0{,}27+0{,}08=0{,}8

On cherche la probabilité qu'un client ait effectué son achat sur Internet sachant qu'il est satisfait.

Autrement dit, on cherche à calculer P_S(I).

On a :

P_S(I)=\dfrac{P(I \cap S)}{P(S)}

Or, on sait que :

• P(I \cap S)=0{,}45
• P(S)=0{,}8

Par conséquent :

P_S(I)=\dfrac{0{,}45}{0{,}8} \approx 0{,}563

Par hypothèse, le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise.

On peut donc supposer que les tirages successifs sont indépendants.

On appelle un succès le fait qu'un client soit satisfait. On sait que P(S)=0{,}8.

La variable aléatoire X compte le nombre de succès obtenus lors de 30 répétitions identiques et indépendantes d'un schéma de Bernoulli dont la probabilité du succès est P(S)=0{,}8.

Par conséquent, la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres 30 et 0,8.

On cherche la probabilité qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.

Autrement dit, on cherche à calculer P( X \geqslant 25).

On a :

P( X \geqslant 25) = 1- P( X \leqslant24)

Avec la calculatrice, on obtient :

P(X \leqslant24) \approx 0{,}5725

On en déduit :

P( X \geqslant 25) \approx 1- 0{,}5725=0{,}4275

En arrondissant au millième on obtient :

P( X \geqslant 25) \approx 0{,}428

On cherche la taille minimale n de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à 0,99.

Autrement dit, on cherche la taille minimale n de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au plus n-1 d'entre eux soient satisfaits soit supérieure à 0,99.

On note Y la variable aléatoire correspondant au nombre de clients satisfaits.

La variable aléatoire Y compte le nombre de succès obtenus lors de n répétitions identiques et indépendantes d'un schéma de Bernoulli dont la probabilité du succès est P(S)=0{,}8 .

Par conséquent, la variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres n et 0,8.

On cherche alors ici à calculer P(Y \leqslant n-1) \geqslant0{,}99.

On a les équivalences suivantes :

P(Y \leqslant n-1) \geqslant0{,}99\\\Leftrightarrow 1-P(Y =n) \geqslant0{,}99\\\Leftrightarrow P(Y =n) \leqslant 0{,}01

Or, on a:

P(Y=n)=\begin{pmatrix} n \cr\cr n \end{pmatrix}0{,}8^n (1-0{,}8)^{n-n}=0{,}8^n.

Par conséquent, on a les équivalences suivantes :

P(Y =n) \leqslant 0{,}01\\\Leftrightarrow 0{,}8^n \leqslant 0{,}01\\

Par croissance de la fonction \ln, on a :

0{,}8^n \leqslant 0{,}01\\\Leftrightarrow n \ln 0{,}8 \leqslant \ln 0{,}01\\

Or, \ln 0{,}8 \lt 0.

Donc :

n \ln 0{,}8 \leqslant \ln 0{,}01\\\Leftrightarrow n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}

Or, \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8} \approx 20{,}6

On en déduit que :

n \geqslant 21

On en conclut qu'il faut un échantillon d'au moins 21 personnes.

Pour toutes variables aléatoires X et Y, on a :

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

On a donc :

E(T)=E(T_1+T_2)=E(T_1)+E(T_2)=4+3=7

Les variables aléatoires T_1 et T_2 sont indépendantes.

On a donc :

V(T)=V(T_1+T_2)=V(T_1)+V(T_2)=2+1=3

On cherche à établir une inégalité sur la probabilité P(5\leqslant T \leqslant 9).

On a :

P(5\leqslant T \leqslant 9)\\= P(4 \lt T \lt 10)\\= P(4 -E(T) \lt T-E(T) \lt 10-E(T))

Or, on sait que :

E(T)=7

On a donc :

P(4 -E(T) \lt T-E(T) \lt 10-E(T))\\= P(4 -7 \lt T-E(T)\lt 10-7)\\= P(-3 \lt T-E(T) \lt 3)\\=P(\left| T-E(T) \right| \lt 3)\\=1-P(\left| T-E(T) \right| \geqslant 3)

Or, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a :

P(\left| T-E(T) \right| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{V(T)}{3^2}

Or, on sait que :

V(T)=3

On en déduit que :

P(\left| T-E(T) \right| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{1}{3}

D'où :

1-P(\left| T-E(T) \right| \geqslant 3) \geqslant 1-\dfrac{1}{3}

Et on obtient finalement :

1-P(\left| T-E(T) \right| \geqslant 3) \geqslant \dfrac{2}{3}

On en conclut que :

P(5\leqslant T \leqslant 9) \geqslant \dfrac{2}{3}