Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x)=5xe^{-x}.
On note C_f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Affirmation 1 :
L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe C_f.
Pour tout réel x, on a :
f(x)=5xe^{-x}=5\dfrac{x}{e^x}
Or, \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0.
Par conséquent :
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0
On en déduit que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe C_f.
L'affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2 :
La fonction f est solution sur \mathbb{R} de l'équation différentielle (E ) : y′ + y = 5e^{-x} .
La fonction f:x\longmapsto 5xe^{-x} est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.
Pour tout réel x, on a :
f'(x)=5e^{-x}+(-5xe^{-x})=5e^{-x}-5xe^{-x}
On obtient donc, pour tout réel x :
f(x)+f'(x)=5xe^{-x}+5e^{-x}-5xe^{-x}=5e^{-x}
Ainsi, on a :
f+f'=5e^{-x}
En conclusion, la fonction f est solution sur \mathbb{R} de l'équation différentielle (E) : y′ + y = 5e^{-x} .
L'affirmation 2 est vraie.
On considère les suites (u_n ), (v_n ) et (w_n) telles que, pour tout entier naturel n :
u_n \leqslant v_n \leqslant w_n
De plus, la suite (u_n ) converge vers -1 et la suite (w_n) converge vers 1.
Affirmation 3 :
La suite (v_n ) converge vers un nombre réel l appartenant à l'intervalle [-1; 1].
On considère les suites (u_n), (v_n) et (w_n) définies pour tout entier naturel n par :
- u_n=-1
- v_n=(-1)^n
- w_n=1
On a :
\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-1 et \lim\limits_{n \to +\infty} w_n=1
Mais la suite (v_n) n'admet pas de limite.
On a trouvé un contre-exemple à l'affirmation 3.
L'affirmation 3 est fausse.
On suppose de plus que la suite (u_n ) est croissante et que la suite (w_n ) est décroissante.
Affirmation 4 :
Pour tout entier naturel n, on a alors : u_0 \leqslant v_n \leqslant w_0.
On sait d'une part que la suite (u_n) est croissante.
Donc pour tout entier naturel n, on a :
u_0 \leqslant u_n
On sait d'autre part que la suite (w_n) est décroissante.
Donc pour tout entier naturel n, on a :
w_n \leqslant w_0
Or, on sait par hypothèse que pour tout entier naturel n, on a :
u_n \leqslant v_n \leqslant w_n
On en déduit que pour tout entier naturel n, on a :
u_0 \leqslant v_n \leqslant w_0
L'affirmation 4 est vraie.