Le but de cet exercice est d'étudier la fonction f définie sur l'intervalle ]0;+\infty[ par :
f(x)=x \ln{(x^2)}- \dfrac{1}{x}
Partie A : lectures graphiques
On a tracé ci-dessous la courbe représentative (C_f ) de la fonction f, ainsi que la droite (T ), tangente à la courbe (C_f ) au point A de coordonnées (1 ; -1).
Cette tangente passe également par le point B(0 ; -4).
Par lecture graphique, quelle valeur de f'(1) obtient-on ?
Quelle est l'équation réduite de la tangente (T) ?
Sur quel intervalle la fonction f semble-t-elle convexe ?
Sur quel intervalle la fonction f semble-t-elle concave ?
Que semble représenter le point A pour la courbe (C_ f ) ?
Partie B : étude analytique
Quelle est la limite de f en +\infty ?
Quelle est la limite de f en 0 ?
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0;+\infty[.
Pour x appartenant à l'intervalle ]0;+\infty[, quelle est l'expression de f'(x) ?
Pour x appartenant à l'intervalle ]0;+\infty[, quelle est l'expression de f''(x) ?
Que peut-on dire de la convexité de la fonction f sur l'intervalle ]0;+\infty[ ?
Que peut-on dire des variations de la fonction f' sur l'intervalle ]0;+\infty[ ?
Que peut-on dire des variations de la fonction f sur l'intervalle ]0;+\infty[ ?
Combien de solutions l'équation f(x)=0 admet-elle sur l'intervalle ]0;+\infty[ ?
On note \alpha la solution de l'équation f(x)=0 sur l'intervalle ]0;+\infty[.
Quelle est la valeur arrondie au centième de \alpha ?
Quelle égalité le nombre \alpha vérifie-t-il ?