Le but de cet exercice est d'étudier la fonction f définie sur l'intervalle ]0;+\infty[ par :
f(x)=x \ln{(x^2)}- \dfrac{1}{x}
Partie A : lectures graphiques
On a tracé ci-dessous la courbe représentative (C_f ) de la fonction f, ainsi que la droite (T ), tangente à la courbe (C_f ) au point A de coordonnées (1 ; -1).
Cette tangente passe également par le point B(0 ; -4).
Par lecture graphique, quelle valeur de f'(1) obtient-on ?
f'(1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe (C_f) au point d'abscisse 1.
On lit le coefficient directeur de la droite (T).
On obtient :
\dfrac{3}{1}=3
On en conclut que :
f'(1)=3
Par lecture graphique, on obtient : f'(1)=3.
Quelle est l'équation réduite de la tangente (T) ?
Le coefficient directeur de la droite (T) est 3.
On lit graphiquement l'ordonnée à l'origine de la droite (T). On obtient -4.
On en déduit qu'une équation de la droite (T) est y=3x-4.
L'équation réduite de la tangente (T) est y=3x-4.
Sur quel intervalle la fonction f semble-t-elle convexe ?
La fonction f semble convexe sur l'intervalle [1;+\infty[.
Sur quel intervalle la fonction f semble-t-elle concave ?
La fonction f semble concave sur l'intervalle ]0;1].
Que semble représenter le point A pour la courbe (C_ f ) ?
Le point A semble représenter un point d'inflexion pour la courbe C_f.
Partie B : étude analytique
Quelle est la limite de f en +\infty ?
On sait que :
- \lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty
- \lim\limits_{x \to +\infty} \ln x=+\infty
Par conséquent :
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x^2)=+\infty
Par produit de limites, on en déduit que :
\lim\limits_{x \to +\infty} x \ln(x^2)=+\infty
Par ailleurs, on sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}=0
On en conclut, par somme de limites, que :
\lim\limits_{x \to +\infty} x \ln(x^2)-\dfrac{1}{x}=+\infty
Ainsi, on a finalement :
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty
La limite de f en +\infty est +\infty.
Quelle est la limite de f en 0 ?
Pour tout x \in ]0;+\infty[, on a :
x \ln(x^2)=2x \ln x
Or, Pour tout x \in ]0;+\infty[, par croissance comparée, on a :
\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x=0
On en déduit que :
\lim\limits_{x \to 0^+} 2x \ln x=0
Par ailleurs, on sait que :
\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}+\infty
On en conclut, par somme de limites, que :
\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln(x^2)-\dfrac{1}{x}=-\infty
Ainsi, on a finalement :
\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty
La limite de f en 0 est -\infty.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0;+\infty[.
Pour x appartenant à l'intervalle ]0;+\infty[, quelle est l'expression de f'(x) ?
Par hypothèse, la fonction f est dérivable sur ]0;+\infty[.
Pour tout x \in ]0;+\infty[, on a :
f'(x)\\=\ln(x^2)+x\times \dfrac{1}{x^2}\times 2x+\dfrac{1}{x^2}\\=\ln(x^2)+ 2+\dfrac{1}{x^2}\\=2 \ln x+2+\dfrac{1}{x^2}
Pour x appartenant à l'intervalle ]0;+\infty[, f'(x) s'exprime ainsi :
2 \ln x+2+\dfrac{1}{x^2}
Pour x appartenant à l'intervalle ]0;+\infty[, quelle est l'expression de f''(x) ?
Par hypothèse, la fonction f est deux fois dérivable sur ]0;+\infty[.
Pour tout x \in ]0;+\infty[, on a :
f''(x)\\=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^3}\\=\dfrac{2x^2-2}{x^3}\\= \dfrac{2(x^2-1)}{x^3}\\ =\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}
Pour tout x appartenant à l'intervalle ]0;+\infty[, f''(x) s'exprime ainsi :
\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}
Que peut-on dire de la convexité de la fonction f sur l'intervalle ]0;+\infty[ ?
On sait que, pour tout x appartenant à l'intervalle ]0;+\infty[, f''(x) s'exprime ainsi :
\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}
On étudie le signe de \dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3} sur l'intervalle ]0;+\infty[.
On sait que, pour tout x \in ]0;+\infty[, on a :
- x+1 \gt 0
- x^3 \gt 0
Ainsi, sur l'intervalle ]0;+\infty[, \dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3} est du signe de x-1.
Or, x-1 est négatif sur ]0;1] et positif sur [1;+\infty[.
On en déduit que la fonction f'' est négative sur ]0;1] et positive sur [1;+\infty[.
Par conséquent :
- la fonction f est concave sur ]0;1] ;
- la fonction f est convexe sur [1;+\infty[.
Pour x = 1, la fonction f'' s'annule en changeant de signe.
Par conséquent, le point A est le point d'inflexion de (C_f ).
La fonction f est concave sur ]0;1] et convexe sur [1;+\infty[.
Que peut-on dire des variations de la fonction f' sur l'intervalle ]0;+\infty[ ?
On sait que la fonction f'' est négative sur ]0;1] et positive sur [1;+\infty[.
On en déduit que la fonction f' est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+\infty[.
On sait également que f'(1)=3.
On obtient donc le tableau de variations suivant pour f'.
La fonction f' est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+\infty[.
Que peut-on dire des variations de la fonction f sur l'intervalle ]0;+\infty[ ?
On sait que la fonction f' est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+\infty[.
On sait également que son minimum est atteint en 1 et qu'il est égal à f'(1)=3.
On en déduit que la fonction f' est strictement positive sur l'intervalle ]0;+\infty[.
Par conséquent, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0;+\infty[.
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0;+\infty[.
Combien de solutions l'équation f(x)=0 admet-elle sur l'intervalle ]0;+\infty[ ?
On sait que la fonction f est :
- dérivable, donc continue sur l'intervalle ]0;+\infty[ ;
- strictement croissante sur l'intervalle ]0;+\infty[.
On a :
- f(1)=1 \times \ln(1^2)-\dfrac{1}{1}=-1
- f(2)=2 \times \ln(2^2)-\dfrac{1}{2}=2\ln (4)-\dfrac{1}{2} \approx 2{,}3
On observe que f(1) \lt 0 et que f(2) \gt 0.
On en déduit qu'il existe un unique nombre réel \alpha \in ]1;2[ tel que f(\alpha)=0.
La fonction f(x)=0 admet une unique solution sur l'intervalle ]0;+\infty[.
On note \alpha la solution de l'équation f(x)=0 sur l'intervalle ]0;+\infty[.
Quelle est la valeur arrondie au centième de \alpha ?
La calculatrice donne successivement :
- f (1{,} 3) \approx -0{,}09
- f (1{,}4) \approx 0{,}23
On en déduit que 1{,}3 \lt \alpha \lt1{,}4.
- f (1{,}32) \approx -0{,}02
- f (1{,}33) \approx 0{,}007
On en déduit que 1{,}32 \lt \alpha \lt 1{,}33.
- f (1{,} 327) \approx -0{,}003
- f (1{,}328) \approx 0{,}0004
On en déduit que α \approx 1{,}33 au centième près.
La valeur arrondie au centième de \alpha est 1,33.
Quelle égalité le nombre \alpha vérifie-t-il ?
On sait que \alpha est solution de l'équation f(x)=0.
On a les équivalences suivantes :
f(\alpha)=0\\\Leftrightarrow \alpha \ln(\alpha^2)-\dfrac{1}{\alpha}=0\\\Leftrightarrow \alpha \ln(\alpha^2)=\dfrac{1}{\alpha}\\\Leftrightarrow \ln (\alpha^2)=\dfrac{1}{\alpha^2}
On en déduit, en composant par la fonction exponentielle :
f(\alpha)=0\\\Leftrightarrow \exp( \ln(\alpha^2))=\exp\left( \dfrac{1}{\alpha^2}\right)\\\Leftrightarrow \alpha^2=\exp\left( \dfrac{1}{\alpha^2}\right)
Le nombre \alpha vérifie l'égalité \alpha^2=\exp\left( \dfrac{1}{\alpha^2} \right).