Les deux parties sont indépendantes.
Partie A
Un artisan crée des bonbons au chocolat dont la forme rappelle le profil de la montagne locale représentée en figure 1.
La base d'un tel bonbon est modélisée par la surface grisée, définie ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 2 cm (figure 2).
Cette surface est délimitée par l'axe des abscisses et la représentation graphique notée C_f de la fonction f définie sur [-1 ; 1] par :
f (x) = (1 - x^2) e^x
L'objectif de cette partie est de calculer le volume de chocolat nécessaire à la fabrication d'un bonbon au chocolat.
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
Pour tout réel x, on a :
e^x \gt 0
Et pour tout x ∈ [-1 ; 1], on a :
1-x^2 \geqslant0
Par conséquent, pour tout x ∈ [-1 ; 1], on a :
f(x) \geqslant 0
Pour tout x appartenant à l'intervalle [-1 ; 1] on a f(x) \geqslant 0.
À l'aide d'une intégration par parties, comment l'intégrale \int_{-1}^{1} f(x) \ \mathrm dx peut-elle s'écrire ?
On a :
\int_{-1}^{1} f(x) \ \mathrm dx = \int_{-1}^{1} (1-x^2)e^x \ \mathrm dx.
On définit les fonctions u et v' sur [-1;1] par :
- u(x)=1-x^2
- v'(x)=e^x
Pour tout x \in [-1;1], on a :
- u'(x)=-2x
- v(x)=e^x
Les fonctions u' et v sont continues sur [-1;1].
En intégrant par parties, on obtient :
\int_{-1}^{1} (1-x^2)e^x \ \mathrm dx\\=\left[ (1-x^2)e^x \right]_{-1}^1-\int_{-1}^{1} -2xe^x \ \mathrm dx\\= (1-1^2)e^1-(1-(-1)^2)e^{-1}+2\int_{-1}^{1} xe^x \ \mathrm dx\\=0-0+2\int_{-1}^{1} xe^x \ \mathrm dx\\=2\int_{-1}^{1} xe^x \ \mathrm dx
À l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale \int_{-1}^{1} f(x) \ \mathrm dx peut s'écrire ainsi :
2\int_{-1}^{1} xe^x \ \mathrm dx
Le volume V de chocolat, en cm3, nécessaire à la fabrication d'un bonbon est donné par :
V = 3 \times S
où S est l'aire, en cm2, de la surface colorée (figure 2).
Quel est le volume V, arrondi à 0,1 cm3 près ?
L'aire de la surface colorée est égale à :
S=\int_{-1}^{1} f(x) \ \mathrm dx
Or, on sait que \int_{-1}^{1} f(x) \ \mathrm dx=2\int_{-1}^{1} xe^x \ \mathrm dx.
On va donc calculer \int_{-1}^{1} xe^x \ \mathrm dx, en intégrant à nouveau par parties.
On définit les fonctions u et v sur [-1;1] par :
- u(x)=x
- v'(x)=e^x
Pour tout x \in [-1;1], on a :
- u'(x)=1
- v(x)=e^x
Les fonctions u' et v sont continues sur [-1;1].
En intégrant par parties, on obtient :
\int_{-1}^{1} xe^x \ \mathrm dx \\=\left[ xe^x \right]_{-1}^1-\int_{-1}^{1} e^x \ \mathrm dx\\=e^1-(-e^{-1})-\left[ e^x \right]_{-1}^1\\=e^1+e^{-1}-e^1+e^{-1}\\=2e^{-1}
Ainsi, on obtient :
\int_{-1}^{1} xe^x \ \mathrm dx=2e^{-1}
On en déduit que :
S=2 \times 2e^{-1}=4e^{-1} d'unité d'aire.
Or, l'unité du repère orthonormé est 2cm, l'unité d'aire est donc 4cm^2.
Donc S=4e^{-1} \times 4 =16e^{-1}
Et finalement :
V=3 \times S=3 \times 16e^{-1}=48e^{-1} \approx 17{,}7cm^3
Le volume V, arrondi à 0,1 cm3 près, est de 17,7 cm3.
Partie B
On s'intéresse maintenant au bénéfice réalisé par l'artisan sur la vente de ces bonbons au chocolat en fonction du volume hebdomadaire des ventes.
Ce bénéfice peut être modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle [0{,}01 ; +\infty[ par :
B (q) = 8q^2[2 - 3 \ln(q)] - 3
Le bénéfice est exprimé en dizaines d'euros et la quantité q en centaines de bonbons.
On admet que la fonction B est dérivable sur [0{,}01 ; +\infty[. On note B' sa fonction dérivée.
Combien vaut \lim\limits_{x \to +\infty} B(q) ?
Pour tout q \in [0{,}01 ; +\infty[, on a :
B (q) = 8q^2[2 - 3 \ln(q)] - 3
On sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(q)=+\infty
Par conséquent :
\lim\limits_{x \to +\infty} 2-3\ln(q)=-\infty
Par ailleurs, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} 8q^2=+\infty
On en déduit que :
\lim\limits_{x \to +\infty} 8q^2[2-3\ln(q)]=-\infty
\lim\limits_{x \to +\infty} B(q) vaut -\infty.
Pour tout q\geqslant 0{,}01, quelle est l'expression de B'(q) ?
Par hypothèse, la fonction B est dérivable sur [0{,}01;+\infty[.
Pour tout q \geqslant 0{,}01, on a :
B'(q) \\=2 \times 8q[2 - 3 \ln(q)]+8q^2 \times \left( -\dfrac{3}{q} \right) \\=32q-48q\ln(q)-24q\\=8q-48q\ln(q)\\=8q(1-6\ln(q))
Pour tout q\geqslant 0{,}01, l'expression de B'(q) est la suivante :
8q(1-6\ln(q))
Que peut-on dire du signe de B'(q) ?
On sait que :
Pour tout q\geqslant 0{,}01, l'expression de B'(q)=8q(1-6\ln(q))
Pour tout q \in [0{,}01;+\infty[, B'(q) est du signe de 1-6\ln(q).
Or, on a les équivalences suivantes, pour tout q \in [0{,}01;+\infty[ :
1 - 6\ln(q) \geqslant 0\\\Leftrightarrow 1 \geqslant 6\ln(q)\\\Leftrightarrow e^1 \geqslant e^{6\ln(q)}\\\Leftrightarrow e^1 \geqslant e^6e^{\ln(q)}\\\Leftrightarrow e^1 \geqslant e^6 q\\\Leftrightarrow q \leqslant e^{\dfrac{1}{6}}
On en déduit que :
Pour q \in [0{,}01;e^{\dfrac{1}{6}}], B'(q) \geqslant 0 et pour q \in [e^{\dfrac{1}{6}};+\infty[, B'(q) \leqslant 0.
Pour q \in [0{,}01;e^{\dfrac{1}{6}}], B'(q) \geqslant 0 et pour q \in [e^{\dfrac{1}{6}};+\infty[, B'(q) \leqslant 0.
Quel est le sens de variation de B sur [0{,}01;+\infty[ ?
On sait que :
- Pour q \in [0{,}01;e^{\dfrac{1}{6}}], B'(q) \geqslant 0.
- Pour q \in [e^{\dfrac{1}{6}};+\infty[, B'(q) \leqslant 0.
On en déduit que B est :
- croissante sur l'intervalle [0{,}01;e^{\dfrac{1}{6}}] ;
- décroissante sur l'intervalle [e^{\dfrac{1}{6}};+\infty[.
La fonction B est :
- décroissante sur l'intervalle [0{,}01;e^{\dfrac{1}{6}}] ;
- croissante sur l'intervalle [e^{\dfrac{1}{6}};+\infty[.
Quel est le tableau de variations de la fonction B ?
On sait que la fonction B est :
- décroissante sur l'intervalle [0{,}01;e^{\dfrac{1}{6}}] ;
- croissante sur l'intervalle [e^{\dfrac{1}{6}};+\infty[.
De plus, on a :
B(0{,}01)=8 \times 0{,}01^2[2 - 3 \ln(0{,}01)] - 3 \approx -3
Et :
- e^{\dfrac{1}{6}} \approx 1{,}2
- B\left( e^{\dfrac{1}{6}} \right)=8 \times {e^{(\dfrac{1}{6})^2}}[2 - 3 \ln(e^{\dfrac{1}{6}})] - 3 \approx 13{,}7
Le tableau de variations de la fonction B est le suivant :
Quel est le bénéfice maximal, à l'euro près, que peut espérer l'artisan ?
Le maximum de la fonction B est B\left( e^{\dfrac{1}{6}} \right) .
Or, on sait que :
B\left( e^{\dfrac{1}{6}} \right)\approx 13{,}7
On sait que le bénéfice est exprimé en dizaines d'euros.
Par conséquent, le bénéfice maximal que peut espérer l'artisan est de 137 euros.
Le bénéfice maximal, à l'euro près, que l'artisan peut espérer est de 137 euros.
Combien de solutions l'équation B (q) = 10 admet-elle sur l'intervalle [1{,}2 ; +\infty[ ?
Sur l'intervalle [1{,}2;+\infty[ :
- La fonction B est dérivable, donc continue.
- La fonction B est strictement décroissante.
- B(1{,}2) \approx 13{,}7
- \lim\limits_{x \to +\infty}=-\infty
Par conséquent, l'équation B(q)=10 admet une solution unique sur l'intervalle [1{,}2;+\infty[.
L'équation B (q) = 10 admet une seule solution sur l'intervalle [1{,}2 ; +\infty[.
On note \beta la solution de l'équation B (q) = 10 sur l'intervalle [1{,}2 ; +\infty[.
Quelle est une valeur approchée de \beta à 10^{-3} près ?
On a successivement :
- B (1) = 13 \gt 10
- B (2) \approx -5{,}5 \lt 10
Donc \beta \in [1;2].
- B (1{,}5) \approx 11{,}1 \gt 10
- B (1{,}6) \approx 9{,}1 \lt 10
Donc \beta \in [1{,}5;1{,}6].
- B (1{,}55) \approx 10{,}17 \gt 10
- B (1{,}56) \approx 9{,}97 \lt 10
Donc \beta \in [1{,}55;1{,}56].
- B (1{,}558) \approx 10{,}007 \gt 10
- B (1{,}559) \approx 9{,}986 \lt 10
Donc \beta \in [1{,}558;1{,}559].
Ainsi, \beta a pour valeur approchée 1,558 à 10^{-3} près.
Une valeur approchée de \beta à 10^{-3} près est 1,558.
On admet que l'équation B (q) = 10 admet une unique solution \alpha sur [0{,}01 ; 1{,}2[.
On donne \alpha \approx 0{,}757.
Quel est le nombre minimal de bonbons au chocolat à vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à 100 euros ?
Par hypothèse, on sait que :
- L'équation B (q) = 10 admet une unique solution \alpha sur [0{,}01 ; 1{,}2[.
- \alpha \approx 0{,}757
On complète le tableau de variation de B de la manière suivante :
On sait que le bénéfice est exprimé en dizaines d'euros et la quantité q en centaines de bonbons.
Pour réaliser un bénéfice supérieur à 100 euros, le nombre de bonbons doit être compris entre 100\alpha et 100\beta.
Pour réaliser un bénéfice supérieur à 100 euros, le nombre minimal de bonbons au chocolat à vendre correspond à 100\alpha, soit environ 76.
Le nombre minimal de bonbons au chocolat à vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à 100 euros est de 76.
Quel est le nombre maximal de bonbons au chocolat à vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à 100 euros ?
On reprend le tableau de variations de la fonction B.
On sait que le bénéfice est exprimé en dizaines d'euros et la quantité q en centaines de bonbons.
Pour réaliser un bénéfice supérieur à 100 euros, le nombre de bonbons doit être compris entre 100\alpha et 100\beta.
Pour réaliser un bénéfice supérieur à 100 euros, le nombre maximal de bonbons au chocolat à vendre correspond à 100\beta, soit environ 156.
Le nombre maximal de bonbons au chocolat à vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à 100 euros est de 156.