Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.
On considère une suite (t_n) vérifiant la relation de récurrence :
Pour tout entier naturel n, t_{n+1} = -0{,}8t_n + 18.
Affirmation 1 : La suite (w_n) définie pour tout entier naturel n par w_n = t_n - 10 est géométrique.
Pour tout n, on a :
w_{n+1} = t_{n+1} - 10 \\= -0{,}8t_n + 18 - 10 \\= -0{,}8t_n + 8\\ = -0{,}8 (t_n - 10)\\= -0{,}8w_n
Donc la suite (w_n) est géométrique de raison -0,8.
L'affirmation 1 est vraie.
On considère une suite (S_n ) qui vérifie pour tout entier naturel n non nul :
3n - 4 \leqslant S_n \leqslant 3n + 4
La suite (u_n) est définie, pour tout entier naturel n non nul, par : u_n = \dfrac{S_n}{n}.
Affirmation 2 : La suite (u_n) converge.
Pour tout n entier naturel non nul, on a :
3n - 4 \leqslant S_n \leqslant 3n + 4\Rightarrow \dfrac{3n - 4}{n} \leqslant \dfrac{S_n}{n} \leqslant \dfrac{3n + 4}{n}
On a donc :
3-\dfrac{4}{n} \leqslant \dfrac{S_n}{n} \leqslant 3+\dfrac{4}{n}
C'est-à-dire :
3-\dfrac{4}{n} \leqslant u_n \leqslant 3+\dfrac{4}{n}
Or, on a :
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{4}{n}=0
Et donc :
- \lim\limits_{n \to +\infty}3-\dfrac{4}{n}=3
- \lim\limits_{n \to +\infty}3+\dfrac{4}{n}=3
On peut en déduire, grâce au théorème des gendarmes, que :
\lim\limits_{x \to \infty}u_n=3
Autrement dit, la suite (u_n) converge.
L'affirmation 2 est vraie.
On considère la suite (v_n ) définie par :
- v_1 = 2 ;
- pour tout entier naturel n \gt 1, v_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{v_n}.
Affirmation 3 : Pour tout entier naturel n \geqslant1, v_n = \dfrac{n + 1}{n}.
On va démontrer cette propriété par récurrence.
Pour tout entier naturel n\geqslant1, notons P(n) la propriété suivante : v_n = \dfrac{n + 1}{n}.
Initialisation
Pour n=1, on a :
\dfrac{1 + 1}{1}=2=v_1
Par conséquent, P(1) est vraie.
Hérédité
Soit un entier naturel n\geqslant1.
On suppose que P(n) est vraie.
On a alors :
v_n = \dfrac{n + 1}{n}
Donc :
v_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{v_n}\\=2 - \dfrac{1}{\dfrac{n+1}{n}}\\=2-\dfrac{n}{n+1}\\=\dfrac{2(n+1)}{n+1}-\dfrac{n}{n+1}\\=\dfrac{n+2}{n+1}\\\\=\dfrac{(n+1)+1}{n+1}
Ainsi, P(n+1) est vraie.
Finalement, on a montré que :
- La propriété P est vraie au rang 1.
- La propriété P est héréditaire pour tout n\geqslant 1.
D'après le principe de récurrence, on en conclut que la propriété P(n) est vraie pour tout n\geqslant 1.
Autrement dit :
Pour tout entier naturel n\geqslant1, v_n = \dfrac{n + 1}{n}.
L'affirmation 3 est vraie.
On considère la suite (u_n ) définie pour tout entier naturel n par u_n = e^n - n.
Affirmation 4 : La suite (u_n ) converge.
Pour tout entier naturel n, on a :
u_n = e^n - n=e^n\left( 1-\dfrac{n}{e^n} \right)
D'une part, on sait que :
\lim\limits_{n \to \infty}e^n=+\infty
D'autre part :
Par croissance comparée, on a :
\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{e^n}{n}=0
D'où :
\lim\limits_{n \to \infty}1-\dfrac{e^n}{n}=1
On en déduit :
\lim\limits_{n \to \infty}e^n\times \left( 1-\dfrac{e^n}{n} \right)=+\infty
Autrement dit :
\lim\limits_{n \to \infty}u_n=+\infty
En conclusion, la suite (u_n) diverge.
L'affirmation 4 est fausse.
On considère la suite (un ) définie à l'aide du script écrit ci-dessous en langage Python, qui renvoie la valeur de (u_n ).
On admet que (u_n ) est décroissante et vérifie pour tout entier naturel n :
\sqrt2\leqslant u_n\leqslant2
Affirmation 5 : La suite (u_n ) converge vers \sqrt2.
D'après le script Python, (u_n ) est définie par :
\begin{cases} u_0=2 \cr \cr u_n=0{,}5\left(u_n+\dfrac{2}{u_n} \right) \end{cases} pour tout n\in \mathbb{N}
On sait par hypothèse que :
- La suite (u_n) est décroissante.
-
Pour tout entier naturel n, \sqrt2\leqslant u_n\leqslant2.
Ainsi, la suite (u_n) est décroissante et minorée par \sqrt2.
D'après le théorème de convergence monotone, on en déduit que :
La suite (u_n) converge vers un nombre réel l supérieur ou égal à \sqrt2.
On a :
- \lim\limits_{n \to \infty}u_n=l
- \lim\limits_{n \to \infty}u_{n+1}=l
De l'égalité u_n=0{,}5\left( u_n+\dfrac{2}{u_n} \right), on déduit alors :
l=0{,}5\left( l+\dfrac{2}{l} \right)
On résout cette équation d'inconnue l :
l=0{,}5\left( l+\dfrac{2}{l} \right)\\\Leftrightarrow 2l=l+\dfrac{2}{l}\\\Leftrightarrow l=\dfrac{2}{l}\\\Leftrightarrow l^2=2\\
Les solutions de cette équation sont -\sqrt2 et \sqrt2.
Or, on sait que l est supérieur ou égal à \sqrt2.
On en déduit que :
l=\sqrt2
En conclusion, la suite (u_n) converge vers \sqrt2.
L'affirmation 5 est vraie.