Etudier la continuité d'une fonction valeur absolue - TS - Exercice Mathématiques

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=\left| 3x-6 \right|

Quelle est l'expression de la fonction f sans valeur absolue ?

\begin{cases} f\left(x\right)=3x-6 \text{ si }x\geqslant2 \cr \cr f\left(x\right)=-3x+6 \text{ si }x\lt2 \end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=3x-6 \text{ si }x\geqslant0 \cr \cr f\left(x\right)=-3x+6 \text{ si }x\lt0 \end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=3x-6 \text{ si }x\geqslant2 \cr \cr f\left(x\right)=-3x-6 \text{ si }x\lt2 \end{cases}

\begin{cases} f\left(x\right)=3x-6 \text{ si }x\geqslant0 \cr \cr f\left(x\right)=-3x-6 \text{ si }x\lt0 \end{cases}

Dans quelle proposition étudie-t-on correctement la continuité de la fonction f sur \mathbb{R} ?

La fonction f est continue sur \left] 2;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;2 \right[ en tant que fonction affine.

Enfin, \lim\limits_{x \to 2^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to 2^-}f\left(x\right)=f\left(2\right). Donc f est continue sur \mathbb{R}.

La fonction f est continue sur \left] 2;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;2 \right[ en tant que fonction affine.

Mais, \lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)\neq f\left(2\right). Donc f n'est pas continue sur \mathbb{R}.

La fonction f est continue sur \left] 2;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;2 \right[ en tant que fonction affine.

Mais, f n'a pas la même limite à gauche et à droite de 2. Donc f est continue continue sur \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.

La fonction f est continue sur \left] 2;+\infty \right[ en tant que fonction affine.

De plus f est continue sur \left] -\infty;2 \right[ en tant que fonction affine.

Enfin, \lim\limits_{x \to 2^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to 2^-}f\left(x\right). Donc f est continue sur \mathbb{R}.