En utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (c'est-à-dire le théorème appliqué au cas des fonctions strictement monotones), on peut montrer qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle.
Montrer que l'équation x^3-2x+1=0 admet une unique solution sur \left]-\infty ; -1 \right].
Se ramener à une équation du type f\left(x\right)=k
On détermine une fonction f telle que l'équation soit équivalente à l'équation f\left(x\right) = k.
On pose :
\forall x \in \left] -\infty ;-1 \right], f\left(x\right) = x^3-2x+1
On cherche à montrer que l'équation f\left(x\right) = 0 admet une unique solution sur \left] -\infty ;-1 \right].
Dresser le tableau de variations de f
Si l'on cherche à démontrer que l'équation f\left(x\right) = k admet une solution unique sur I, on dresse le tableau de variations de f sur I.
On étudie les variations de f au préalable, si cela n'a pas été fait dans les questions précédentes.
On étudie la fonction f sur \left] -\infty ;-1 \right] :
f est dérivable sur \left] -\infty ;-1 \right] en tant que restriction d'une fonction polynôme et :
\forall x \in \left] -\infty ;-1 \right], f'\left(x\right) = 3x^2-2
On étudie le signe de f'\left(x\right). Pour cela, on résout l'inéquation f'\left(x\right) \gt 0. Pour tout réel x :
3x^2-2\gt 0
\Leftrightarrow x^2 \gt \dfrac{2}{3}
\Leftrightarrow x \gt \sqrt {\dfrac{2}{3}} ou x \lt -\sqrt {\dfrac{2}{3}}
On en déduit, comme -1 \lt -\sqrt{\dfrac{2}{3}}, que f'\left(x\right) \gt 0 sur \left] -\infty ;-1 \right]. Ainsi, f est strictement croissante sur \left] -\infty ;-1 \right].
De plus, on a :
- \lim\limits_{x \to- \infty}\left(x^3-2x+1\right)= \lim\limits_{x \to- \infty}x^3\left(1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)=-\infty
- \lim\limits_{x \to- 1}\left(x^3-2x+1\right)= \left(-1\right)^3-2\times \left(-1\right) +1=2
On dresse alors le tableau de variations de f :
Utiliser corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
On récite les hypothèses :
- f est continue sur I.
- f est strictement monotone sur I.
- Soit J l'intervalle image de I par f, on vérifie que k \in J.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f\left(x\right) = k admet une solution unique sur I.
Sur \left] -\infty ;-1 \right] :
- f est continue.
- f est strictement monotone
- \lim\limits_{x \to- \infty} f\left(x\right) = -\infty et \lim\limits_{x \to- 1}f\left(x\right)=2. On a bien 0\in\left] -\infty ;2 \right].
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f\left(x\right) = 0 admet une solution unique sur \left] -\infty ;-1 \right].