Afin de déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f\left(x\right)=k sur I, on utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour chaque intervalle de I sur lequel la fonction est strictement monotone.
Déterminer le nombre de solutions de l'équation x^3+x^2-x+1 = 0 sur \mathbb{R}.
Se ramener à une équation du type f\left(x\right)=k
On détermine une fonction f telle que l'équation soit équivalente à une équation du type f\left(x\right) = k.
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = x^3+x^2-x+1
On cherche à déterminer le nombre de solutions de l'équation f\left(x\right) = 0 sur \mathbb{R}.
Dresser le tableau de variations de f
On étudie les variations de f au préalable, si cela n'a pas été fait dans les questions précédentes. On dresse ensuite le tableau de variations de f sur I (limites et extremums locaux inclus).
f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme, et :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 3x^2+2x-1
On étudie le signe de f'\left(x\right). On reconnaît un trinôme du second degré. Son discriminant est :
\Delta = 2^2-4\times 3 \times \left(-1\right)
Donc :
\Delta = 16
\Delta \gt 0 donc le trinôme est du signe de a (\gt0) sauf entre les racines que l'on détermine :
- x_1 = \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2-\sqrt{16}}{2\times 3} = \dfrac{-6}{6} = -1
- x_2 = \dfrac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2+\sqrt{16}}{2\times 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}
Ainsi, on obtient le signe de la dérivée :
De plus, on a :
- \lim\limits_{x \to- \infty}\left(x^3+x^2-x+1\right)= \lim\limits_{x \to- \infty}x^3\left(1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)=-\infty
- \lim\limits_{x \to+ \infty}\left(x^3+x^2-x+1\right)= \lim\limits_{x \to+ \infty}x^3\left(1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)=+\infty
Enfin :
- f\left(-1\right) = \left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2 -\left(-1\right)+1 =2
- f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 -\left(\dfrac{1}{3}\right)+1 =\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{3}+1 =\dfrac{1}{27}+\dfrac{3}{27}-\dfrac{9}{27}+\dfrac{27}{27} = \dfrac{22}{27}
On dresse le tableau de variations de f sur \mathbb{R} :
Déterminer le nombre de solutions de l'équation pour chaque intervalle
On identifie les intervalles I_i \in I sur lesquels la fonction f est strictement monotone. Pour chaque intervalle I_i, on procède de la manière suivante :
- On justifie que f est continue.
- On justifie que f est strictement monotone.
- On donne les limites ou les valeurs aux bornes de I_i. Soit J_i l'intervalle image de I_i par f, on détermine si k \in J_i.
On en conclut :
- Si k \notin J_i alors l'équation f\left(x\right) = k n'admet pas de solution sur I_i.
- Si k \in J_i alors d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f\left(x\right) = k admet une unique solution sur I_i.
On répète cette démarche pour chacun des intervalles I_i.
On identifie trois intervalles sur lesquels la fonction f est strictement monotone : \left]- \infty ; -1 \right], \left[ -1 ; \dfrac{1}{3}\right] et \left[ \dfrac{1}{3} ; +\infty\right[. On applique donc le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires trois fois.
Sur \left]- \infty ; -1 \right] :
- f est continue.
- f est strictement croissante.
- \lim\limits_{x \to -\infty} f\left(x\right)= - \infty et f\left(-1\right) = 2. Or 0 \in \left]-\infty ; 2 \right].
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f\left(x\right) = 0 admet une unique solution sur \left]- \infty ; -1 \right].
Sur \left[ -1 ; \dfrac{1}{3}\right] :
- f est continue.
- f est strictement décroissante.
- f\left(-1\right) = 2 et f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{22}{27}. Or 0 \notin \left[\dfrac{22}{27} ; 2 \right].
Donc l'équation f\left(x\right) = 0 n'admet pas de solution sur \left[ -1 ; \dfrac{1}{3}\right].
Sur \left[ \dfrac{1}{3} ; +\infty\right[ :
- f est continue.
- f est strictement croissante.
- f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{22}{27} et \lim\limits_{x \to +\infty} f\left(x\right)= + \infty. Or 0 \notin \left[\dfrac{22}{27}; +\infty \right[.
Donc l'équation f\left(x\right) = 0 n'admet pas de solution sur \left[ \dfrac{1}{3} ; +\infty\right[.
Conclure
On conclut en donnant le nombre total de solutions sur I.
L'équation f\left(x\right) = 0 admet donc une unique solution sur \mathbb{R}.
Dans le tableau de variations, en suivant les flèches, on peut dès le début déterminer le nombre de solutions de l'équation f\left(x\right) = k. Il ne reste ensuite qu'à rédiger la réponse de manière organisée.