On considère deux entiers naturels a et b tels que :
- Le reste de la division euclidienne de a par 7 est 2.
- Le reste de la division euclidienne de b par 7 est 3.
Déterminer le reste de la division euclidienne de a+b par 7.
On traduit au préalable les hypothèses sur a et b.
On sait que le reste de la division euclidienne de a par 7 est 2, on en déduit que :
a=7q+2
On sait que le reste de la division euclidienne de b par 7 est 3, on en déduit que :
b=7q'+3
Par addition membre à membre de ces deux équations, on obtient :
a+b=7q+ 7q'+2+3
Pour obtenir l'expression de la division euclidienne de a+b par 7, on doit déterminer deux entiers naturels Q et R tels que :
a+b=7Q + R avec 0 \leq R \leq 7.
D'après l'égalité précédente on obtient :
a+b=7\left(q+ q'\right)+5
On observe que :
- q+q' est un entier naturel car q et q' sont des entiers naturels.
- 0 \leq 5 \leq 7
Le reste de la division euclidienne de a+b par 7 est donc égal à 5.
On considère deux entiers naturels a et b tels que :
- Le reste de la division euclidienne de a par 23 est 6.
- Le reste de la division euclidienne de b par 23 est 3.
Déterminer le reste de la division euclidienne de ab par 23.
On traduit au préalable les hypothèses sur a et b.
On sait que le reste de la division euclidienne de a par 23 est 6, on en déduit que :
a=23q+6
On sait que le reste de la division euclidienne de b par 23 est 3, on en déduit que :
b=23q'+3
Par multiplication des membres de ces deux équations, on obtient :
ab=\left(23q+6\right)\left( 23q'+3\right)
\Leftrightarrow ab=23q\times 23q' + 23q \times 3 +6\times 23q'+6\times3
Pour obtenir l'expression de la division euclidienne de ab par 23, on doit déterminer deux entiers naturels Q et R tels que :
ab=23Q + R avec 0 \leq R \lt 23.
D'après l'égalité précédente on obtient :
ab=23\left( 23qq' + 3q +6q'\right)+18
On observe que :
- 23qq' + 3q +6q' est un entier naturel car q et q' sont des entiers naturels.
- 0 \leq 18\lt 23
Le reste de la division euclidienne de ab par 23 est donc égal à 18.
On considère deux entiers naturels a et b tels que :
- Le reste de la division euclidienne de a par 17 est 12.
- Le reste de la division euclidienne de b par 17 est 13.
Déterminer le reste de la division euclidienne de a+b par 17.
On traduit au préalable les hypothèses sur a et b.
On sait que le reste de la division euclidienne de a par 17 est 12, on en déduit que :
a=17q+12
On sait que le reste de la division euclidienne de b par 17 est 13, on en déduit que :
b=17q'+13
Par addition membre à membre de ces deux équations, on obtient :
a+b=17q+ 17q'+12+13
Pour obtenir l'expression de la division euclidienne de a+b par 17, on doit déterminer deux entiers naturels Q et R tels que :
a+b=17Q+ R avec 0 \leq R \lt 17.
D'après l'égalité précédente on obtient :
a+b=17\left(q+ q'\right)+25
On remarque que 25 \gt 17, on modifie donc l'expression :
a+b=17\left(q+ q'+1\right)+8
On observe que :
- q+q' est un entier naturel car q et q' sont des entiers naturels.
- 0 \leq 8\lt 17
Le reste de la division euclidienne de a+b par 17 est donc égal à 8.
On considère deux entiers naturels a et b tels que :
- Le reste de la division euclidienne de a par 5 est 2.
- Le reste de la division euclidienne de b par 5 est 4.
Déterminer le reste de la division euclidienne de a+b par 5.
On traduit au préalable les hypothèses sur a et b.
On sait que le reste de la division euclidienne de a par 5 est 2, on en déduit que :
a=5q+2
On sait que le reste de la division euclidienne de b par 5 est 4, on en déduit que :
b=5q'+4
Par addition membre à membre de ces deux équations, on obtient :
a+b=5q+ 5q'+2+4
Pour obtenir l'expression de la division euclidienne de a+b par 5, on doit déterminer deux entiers naturels Q et R tels que :
a+b=5Q+ R avec 0 \leq R \lt 5.
D'après l'égalité précédente on obtient :
a+b=5\left(q+ q'\right)+6
On remarque que 6\gt 5, on modifie donc l'expression :
a+b=5\left(q+ q'+1\right)+1
On observe que :
- q+q'+1 est un entier naturel car q et q' sont des entiers naturels.
- 0 \leq1\lt 5
Le reste de la division euclidienne de a+b par 5 est donc égal à 1.
On considère deux entiers naturels a et b tels que :
- Le reste de la division euclidienne de a par 58 est 20.
- Le reste de la division euclidienne de b par 58 est 11.
Déterminer le reste de la division euclidienne de ab par 58.
On traduit au préalable les hypothèses sur a et b.
On sait que le reste de la division euclidienne de a par 58 est 20, on en déduit que :
a=58q+20
On sait que le reste de la division euclidienne de b par 58 est 4, on en déduit que :
b=58q'+11
Par multiplication des deux membres, on obtient :
ab=\left(58q+20\right)\left( 58q'+11\right)
\Leftrightarrow ab=58q\times 58q' +58q\times 11 + 58q' \times 20 +20\times 11
Pour obtenir l'expression de la division euclidienne de ab par 58, on doit déterminer deux entiers naturels Q et R tels que :
ab=5Q+ R avec 0 \leq R \lt 58.
D'après l'égalité précédente on obtient :
ab=58\left(58qq' +11q\ + 20q'\right) +220
On remarque que 220 \gt 58, on modifie l'expression en sachant que 220 = 3\times 58 +46 :
ab=58\left(58qq' +11q\ + 20q'+3\right) +46
On observe que :
- 58qq'+11q+20q'+3 est un entier naturel car q et q' sont des entiers naturels.
- 0 \leq 46 \lt 58
Le reste de la division euclidienne de ab par 58 est donc égal à 46.
On considère deux entiers naturels a et b tels que :
- Le reste de la division euclidienne de a par 33 est 18.
- Le reste de la division euclidienne de b par 33 est 22.
Déterminer le reste de la division euclidienne de ab par 33.
On traduit au préalable les hypothèses sur a et b.
On sait que le reste de la division euclidienne de a par 33 est 18, on en déduit que :
a=33q+18
On sait que le reste de la division euclidienne de b par 33 est 22, on en déduit que :
b=33q'+22
Par multiplication des membres de ces deux équations, on obtient :
ab=\left(33q+18\right)\left( 33q'+22\right)
ab=33q\times 33q' + 33q\times 22 + 33q'\times 18 + 18\times 22
Pour obtenir l'expression de la division euclidienne de ab par 33, on doit déterminer deux entiers naturels Q et R tels que :
ab=33Q+ R avec 0 \leq R \lt 33.
D'après l'égalité précédente on obtient :
ab=33\left( 33qq' + 22q + 18q'\right)+ 396
On remarque que 396 \gt 33, en sachant que 396 = 12 \times 33 + 0 on modifie donc l'expression :
ab=33\left( 33qq' + 22q + 18q'+12\right)+ 0
On observe que :
- 33qq' + 22q + 18q'+12 est un entier naturel car q et q' sont des entiers naturels.
- 0 \leq 0\lt 33
Le reste de la division euclidienne de ab par 33 est donc égal à 0.
On considère deux entiers naturels a et b tels que :
- Le reste de la division euclidienne de a par 112 est 51.
- Le reste de la division euclidienne de b par 112 est 11.
Déterminer le reste de la division euclidienne de a+b par 112.
On traduit au préalable les hypothèses sur a et b.
On sait que le reste de la division euclidienne de a par 112 est 51, on en déduit que :
a=112q+51
On sait que le reste de la division euclidienne de b par 112 est 11, on en déduit que :
b=112q'+11
Par addition membre à membre de ces deux équations, on obtient :
a+b=112q+ 112q'+51+11
Pour obtenir l'expression de la division euclidienne de a+b par 112, on doit déterminer deux entiers naturels Q et R tels que :
a+b=112Q+ R avec 0 \leq R \lt 112.
D'après l'égalité précédente on obtient :
a+b=112\left(q+ q'\right)+62
On observe que :
- q+q' est un entier naturel car q et q' sont des entiers naturels.
- 0 \leq 62\lt 112
Le reste de la division euclidienne de a+b par 112 est donc égal à 62.