Quel est le couple \left(x , y\right) d'entiers naturels vérifiant l'équation suivante ?
x^2-y^2 = 7
On sait que :
a^2 -b^2 = \left(a-b\right)\left(a+b\right)
On en déduit donc que :
x^2-y^2 = 7\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right) = 7
Or, x et y étant des entiers naturels:
- x+y est un entier naturel et est donc positif
- x-y est un entier relatif
- \left(x-y\right) \leqslant \left(x+y\right)
Donc, si \left( x,y \right) est solution de l'équation, x-y est du signe de 7, c'est-à-dire positif. x-y est alors un entier naturel.
Les seuls diviseurs positifs de 7 étant 1 et 7, un couple \left(x , y\right) est solution de l'équation si et seulement s'il est également solution du système suivant :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 7 \end{cases}
On résout :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 7 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr \left(1+y\right)+y = 7 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr 2y= 6 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=4 \cr \cr y= 3 \end{cases}
On peut conclure :
Le couple \left(x , y\right) d'entiers naturels solution de l'équation x^2-y^2=7 est \left(4 ,3\right).
Quel est le couple \left(x , y\right) d'entiers naturels vérifiant l'équation suivante ?
x^2-y^2 = 13
On sait que :
a^2 -b^2 = \left(a-b\right)\left(a+b\right)
On en déduit donc que :
x^2-y^2 = 13\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right) = 13
Or, x et y étant des entiers naturels:
- x+y est un entier naturel et est donc positif
- x-y est un entier relatif
- \left(x-y\right) \leqslant\left(x+y\right)
Donc, si \left( x,y \right) est solution de l'équation, x-y est du signe de 13, c'est-à-dire positif. x-y est alors un entier naturel.
Les seuls diviseurs positifs de 13 étant 1 et 13, un couple \left(x , y\right) est solution de l'équation si et seulement s'il est également solution du système suivant :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 13 \end{cases}
On résout :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 13 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr \left(1+y\right)+y = 13 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr 2y= 12 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=7 \cr \cr y= 6 \end{cases}
Le couple \left(x , y\right) d'entiers naturels solution de l'équation x^2-y^2=13 est \left(7 ,6\right).
Quel est le couple \left(x , y\right) d'entiers naturels vérifiant l'équation suivante ?
x^2-y^2 = 29
On sait que :
a^2 -b^2 = \left(a-b\right)\left(a+b\right)
On en déduit donc que :
x^2-y^2 = 29\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right) = 29
Or, x et y étant des entiers naturels:
- x+y est un entier naturel et est donc positif
- x-y est un entier relatif
- \left(x-y\right) \leqslant \left(x+y\right)
Donc, si \left( x,y \right) est solution de l'équation, x-y est du signe de 29, c'est-à-dire positif. x-y est alors un entier naturel.
Les seuls diviseurs positifs de 29 étant 1 et 29, un couple \left(x , y\right) est solution de l'équation si et seulement s'il est également solution du système suivant :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 29\end{cases}
On résout :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 29\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr \left(1+y\right)+y = 29\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr 2y= 28\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=15 \cr \cr y= 14 \end{cases}
On peut conclure :
Le couple \left(x , y\right) d'entiers naturels solution de l'équation x^2-y^2=29 est \left(15 ,14\right).
Quel est le couple \left(x , y\right) d'entiers naturels vérifiant l'équation suivante ?
x^2-y^2 = 6
On sait que :
a^2 -b^2 = \left(a-b\right)\left(a+b\right)
On en déduit donc que :
x^2-y^2 = 6\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right) = 6
Or, x et y étant des entiers naturels:
- x+y est un entier naturel et est donc positif
- x-y est un entier relatif
- \left(x-y\right) \leqslant \left(x+y\right)
Donc, si \left( x,y \right) est solution de l'équation, x-y est du signe de 6, c'est-à-dire positif. x-y est alors un entier naturel.
Les diviseurs positifs de 6 étant 1,2,3 et 6, un couple \left(x , y\right) est solution de l'équation si et seulement s'il est également solution d'un des systèmes suivants :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 6\end{cases} ou \begin{cases} x-y=2 \cr \cr x+y = 3\end{cases}
On résout :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 6\end{cases} ou \begin{cases} x-y=2 \cr \cr x+y = 3\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr \left(1+y\right)+y = 6\end{cases} ou \begin{cases} x=2+y \cr \cr \left(2+y\right)+y = 3\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr 2y= 5\end{cases} ou \begin{cases} x=2+y \cr \cr 2y = 1\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{7}{2} \cr \cr y= \dfrac{5}{2} \end{cases} ou \begin{cases} x=\dfrac{5}{2} \cr \cr y= \dfrac{1}{2} \end{cases}
\left(x ,y\right) devant être un couple d'entiers naturels, on peut conclure :
L'équation x^2-y^2 = 6 n'admet pas de couple entier \left(x , y\right) solution.
Quels sont les couples \left(x , y\right) d'entiers naturels vérifiant l'équation suivante ?
x^2-y^2 = 25
On sait que :
a^2 -b^2 = \left(a-b\right)\left(a+b\right)
On en déduit donc que :
x^2-y^2 = 25\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right) = 25
Or, x et y étant des entiers naturels:
- x+y est un entier naturel et est donc positif
- x-y est un entier relatif
- \left(x-y\right) \leqslant \left(x+y\right)
Donc, si \left( x,y \right) est solution de l'équation, x-y est du signe de 25, c'est-à-dire positif. x-y est alors un entier naturel.
Les diviseurs positifs de 25 étant 1,5 et 25, un couple \left(x , y\right) est solution de l'équation si et seulement s'il est également solution d'un des systèmes suivants :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 25\end{cases} ou \begin{cases} x-y=5 \cr \cr x+y = 5\end{cases}
On résout :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 25\end{cases} ou \begin{cases} x-y=5 \cr \cr x+y = 5\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr \left(1+y\right)+y = 25\end{cases} ou \begin{cases} x=5+y \cr \cr \left(5+y\right)+y = 5\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr 2y= 24\end{cases} ou \begin{cases} x=5+y \cr \cr 2y = 0\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=13\cr \cr y= 12\end{cases} ou \begin{cases} x=5 \cr \cr y=0 \end{cases}
On peut alors conclure :
Les couples \left(x , y\right) d'entiers naturels solutions de l'équation x^2-y^2=25 sont \left(13 ,12\right) et \left(5, 0\right).
Quels sont les couples \left(x , y\right) d'entiers naturels vérifiant l'équation suivante ?
x^2-y^2 = 9
On sait que :
a^2 -b^2 = \left(a-b\right)\left(a+b\right)
On en déduit donc que :
x^2-y^2 = 9\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right) = 9
Or, x et y étant des entiers naturels:
- x+y est un entier naturel et est donc positif
- x-y est un entier relatif
- \left(x-y\right) \leqslant \left(x+y\right)
Donc, si \left( x,y \right) est solution de l'équation, x-y est du signe de 9, c'est-à-dire positif. x-y est alors un entier naturel.
Les diviseurs positifs de 9 étant 1,3 et 9, un couple \left(x , y\right) est solution de l'équation si et seulement s'il est également solution d'un des systèmes suivants :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 9\end{cases} ou \begin{cases} x-y=3 \cr \cr x+y = 3\end{cases}
On résout :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 9\end{cases} ou \begin{cases} x-y=3 \cr \cr x+y = 3\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr \left(1+y\right)+y = 9\end{cases} ou \begin{cases} x=3+y \cr \cr \left(3+y\right)+y = 3\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr 2y= 8\end{cases} ou \begin{cases} x=3+y \cr \cr 2y = 0\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=5\cr \cr y= 4\end{cases} ou \begin{cases} x=3 \cr \cr y=0 \end{cases}
On peut conclure :
Les couples \left(x , y\right) d'entiers naturels solutions de l'équation x^2-y^2=9 sont \left(5 ,4\right) et \left(3, 0\right).