Quels sont les couples \left(x , y\right) d'entiers naturels vérifiant l'équation suivante ?
x^2-y^2 = 121
On sait que :
a^2 -b^2 = \left(a-b\right)\left(a+b\right)
On en déduit donc que :
x^2-y^2 = 121\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right) = 121
Or, x et y étant des entiers naturels:
- x+y est un entier naturel et est donc positif
- x-y est un entier relatif
- \left(x-y\right) \leqslant \left(x+y\right)
Donc, si \left( x,y \right) est solution de l'équation, x-y est du signe de 121, c'est-à-dire positif. x-y est alors un entier naturel.
Les diviseurs positifs de 121 étant 1,11 et 121, un couple \left(x , y\right) est solution de l'équation si et seulement s'il est également solution d'un des systèmes suivants :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 121\end{cases} ou \begin{cases} x-y=11 \cr \cr x+y = 11\end{cases}
On résout :
\begin{cases} x-y=1 \cr \cr x+y = 121\end{cases} ou \begin{cases} x-y=11 \cr \cr x+y = 11\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr \left(1+y\right)+y = 121\end{cases} ou \begin{cases} x=11+y \cr \cr \left(11+y\right)+y = 11\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=1+y \cr \cr 2y= 120\end{cases} ou \begin{cases} x=11+y \cr \cr 2y = 0\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=61\cr \cr y= 60\end{cases} ou \begin{cases} x=11 \cr \cr y=0 \end{cases}
On peut conclure :
Les couples \left(x , y\right) d'entiers naturels solutions de l'équation x^2-y^2=9 sont \left(61 ,60\right) et \left(11, 0\right).
Quel est le couple \left(x ; y\right) d'entiers naturels vérifiant l'équation suivante ?
x^2-y^2 = 13
Quel est le couple \left(x ; y\right) d'entiers naturels vérifiant l'équation suivante ?
x^2-y^2 = 31
Quel est le couple \left(x ; y\right) d'entiers naturels vérifiant l'équation suivante ?
x^2-y^2 = 59
Quel sont le ou les couples \left(x ; y\right) d'entiers naturels vérifiant l'équation suivante ?
x^2-y^2 = 169
Quel sont le ou les couples \left(x ; y\right) d'entiers naturels vérifiant l'équation suivante ?
x^2-y^2 = 25