Dans cet exercice, on s'intéresse aux solutions de l'équation (1) : \exp(-x)=-\ln(x) sur \mathbb{R}^\star_+.
On pose pour x\in\mathbb{R}^\star_+ : f(x) = \exp(-x)+\ln(x).
Étudier f afin de déterminer le nombre de solutions à l'équation (1).
Combien l'équation f(x)=0 admet-elle de solutions sur \mathbb{R}^\star_+ ?
On rappelle qu'une fonction f est concave si et seulement si sa dérivée est décroissante sur l'ensemble étudié.
La fonction f est-elle concave ?
On admet la proposition suivante :
Soit f une fonction continue, strictement croissante et concave telle que f(a) \leq 0 et f(b) > 0.
Alors la suite (a_n) définie par \left \{ \begin{array}{rcl} a_0=a \\ a_{n+1}=a_n-\dfrac{b-a_n}{f(b)-f(a)}f(a)\end{array} \right. converge vers la solution \ell de f(x)=0.
Quel algorithme permet de déterminer une valeur approchée de la solution de l'équation (1) ?
En s'aidant de l'algorithme écrit à la question précédente, quelle valeur approchée de la solution à l'équation (1) peut-on déduire ?