Soit la suite u définie sur \mathbb{N} par u_{n+1} = \sqrt{3u_n} et u_0 = 2 .
Quel graphique correspond à la courbe représentative C_f de la fonction f définie par f(x) = \sqrt{3x} et la droite d d'équation y = x ?
La droite d'équation y = x permet de reporter les termes de la suite u_n sur l'axe des abscisses.
On place u_0 sur l'axe des abscisses, on construit u_1 = f(u_0) et on reporte u_1 sur l'axe des abscisses en utilisant la droite d .
On peut ensuite déterminer u_2 = f(u_1) , qu'on reporte sur l'axe des abscisses avec la droite d , et ainsi de suite.
Le graphique qui convient est donc :
Que peut-on dire de u_n ?
On va montrer par récurrence que 2\leq u_n\leq 3.
On note, pour tout entier naturel n, \mathcal{P}_n la proposition :
« 2\leq u_n\leq 3 »
Initialisation :
u_0=2 et 2\leq 2\leq 3
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
Soit un entier n quelconque fixé.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 2\leq u_n\leq 3.
On cherche alors à montrer que \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 2\leq u_{n+1}\leq 3.
Par hypothèse de récurrence, on a :
2\leq u_n\leq 3
On en déduit :
6\leq 3u_n\leq 9
Puis \sqrt{6}\leq \sqrt{3u_n}\leq \sqrt{9} car la fonction racine carrée est croissante sur \mathbb{R}_+.
Or, 2\leq \sqrt{6} et \sqrt{9}=3.
On a donc bien :
2\leq u_{n+1}\leq 3
\mathcal{P}_{n+1}
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
On a donc bien :
2\leq u_n\leq 3 pour tout entier naturel n.
Ainsi, 2 \leq u_n \leq 3 .
Quel est le sens de variation de la suite u ?
On peut montrer par récurrence que pour tout entier n \in \mathbb{N} , on a :
u_{n+1} \geq u_n
Soit \mathcal{P}_n la proposition u_{n+1} \geq u_n.
Initialisation :
u_0 = 2 et u_1 = \sqrt{6}
Donc u_1 \geq u_0 .
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On suppose que pour un entier naturel n fixé, on a \mathcal{P}_n vraie, c'est-à-dire :
u_{n+1} \geq u_n
On montre qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire :
u_{n+2}\geq u_{n+1}
Par hypothèse de récurrence, on a :
u_{n+1} \geq u_n
On en déduit :
3 u_{n+1} \geq 3 u_n
Puis \sqrt{3 u_{n+1}} \geq \sqrt{3 u_n} car la fonction racine carrée est croissante sur \mathbb{R}_+ et u_n\geq 2 d'après la question précédente, donc 3u_n\in\mathbb{R}_+.
On a donc obtenu :
u_{n+2} \geq u_{n+1}
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_n est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir de n=0, \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Ainsi, u_{n+1}\geq u_n pour tout entier naturel n.
La suite u est donc croissante.
Que peut-on dire sur la convergence de la suite u ?
La suite (u_n)_n est croissante et majorée par 3, donc elle converge vers une limite l .
Ainsi, la suite u converge.
Quelles sont les solutions dans \left[ 2; 3 \right] de f(x) = x ?
L'équation f(x) = x équivaut à :
\sqrt{3x} = x \Leftrightarrow 3x = x^2 ou 3x = -x^2
\sqrt{3x} = x \Leftrightarrow x(3-x) = 0 ou x(3+x) = 0
\sqrt{3x} = x \Leftrightarrow x \in \left\{ 0; 3 \right\} car x > 0
Or, 3 est la seule solution dans \left[ 2;3 \right] .
Quelle est la limite de la suite u ?
Comme u est convergente et que f est continue sur l'intervalle \left[ 2; 3 \right] , elle converge vers 3 , solution unique de l'équation f(x) = x sur l'intervalle \left[ 2; 3 \right] .
Ainsi, u converge vers 3 .