Toute mesure physique est entachée d'erreurs, de nature aléatoire et / ou systématique. Il est alors indispensable d'estimer l'incertitude absolue sur la valeur mesurée, ce qui permet de définir un intervalle de confiance dans lequel la valeur "vraie" de la grandeur à mesurer possède une certaine probabilité de se trouver (fonction du niveau de confiance choisi).
L'incertitude absolue permet également de quantifier la précision de la mesure à travers l'incertitude relative. La détermination d'un pourcentage d'erreur permet par ailleurs de comparer la valeur mesurée avec une valeur de référence.
Les mesures et les erreurs associées
L'instrument et la méthode de mesure, sources d'erreurs
Le mesurage
Mesurage
Le mesurage consiste à rechercher la valeur numérique d'une grandeur.
- L'instrument choisi pour le mesurage doit permettre la mesure de façon fidèle (plusieurs mesures donneront des valeurs très proches) et fiable (valeur proche de la valeur "vraie" de la grandeur).
- La méthode doit quant à elle être reproductible (conduire à des mesures comparables et proches lorsqu'elles sont réalisées dans les mêmes conditions expérimentales).
Justesse et fidélité lors d'une mesure
Les erreurs de mesure
Il n'existe pas de mesure exacte. Toute mesure est entachée d'erreurs et ne conduit qu'à une valeur plus ou moins proche de la valeur vraie de la grandeur à mesurer.
Deux types d'erreurs interviennent :
- Les erreurs aléatoires : ce sont les erreurs que l'on constate en réalisant un grand nombre de mesures dans les mêmes conditions. Elles sont liées à la nature de la mesure, l'habileté de l'opérateur, la fluctuation de la grandeur à mesurer ou d'un paramètre l'influençant, etc. Les différents résultats se répartissent de part et d'autre de la valeur moyenne obtenue. Plus les erreurs aléatoires sont petites, plus la fidélité de la mesure est grande.
- Les erreurs systématiques : elles sont liées à l'appareil de mesure et peuvent disparaître par réglage. Ce type d'erreur affecte toujours le résultat de la mesure dans le même sens. Plus l'erreur systématique est petite, plus la justesse de la mesure est grande.
L'incertitude absolue et l'incertitude relative
La qualité d'une mesure peut être caractérisée :
- Soit par l'incertitude absolue (ou incertitude de mesure), notée \Delta X ou de façon normalisée U\left(X\right) ( U pour "Uncertainty") qui représente une estimation de l'erreur sur la valeur mesurée (appelée aussi mesurande) de la grandeur X.
- Soit par l'incertitude relative (ou précision de la mesure).
L'incertitude absolue
Incertitude absolue
Pour un mesurande x, on détermine son incertitude absolue U\left(x\right) qui peut s'ajouter ou se retrancher au mesurande, ce qui conduit à un intervalle de confiance dans lequel la probabilité de trouver la valeur vraie de la grandeur à mesurer correspond au niveau de confiance choisi (95% le plus souvent).
La grandeur mesurée peut être donnée sous trois formes :
X = x \pm U\left(x\right)
x - U\left(x\right) \leqslant X \leqslant x + U\left(x\right)
X \in \left[x - U\left(x\right) ; x + U\left(x\right)\right]
Le mesurande et son incertitude absolue sont exprimés dans la même unité, l'incertitude étant le plus souvent présentée avec un seul chiffre significatif.
L'incertitude relative ou précision
Incertitude relative (ou précision)
L'incertitude relative p est le rapport de l'incertitude absolue U\left(X\right) à la valeur mesurée de la grandeur X, l'une et l'autre dans la même unité :
p = \dfrac{U\left(X\right)}{X}
On mesure une longueur avec un double-décimètre, on obtient L = 160 mm. L'incertitude absolue sur la mesure est estimée à 1 mm. On a donc :
L = \left(160 \pm 1\right) mm
L'incertitude relative vaut :
p = \dfrac{U\left(L\right)}{L} = \dfrac{1}{160} = 0{,}006
L'incertitude relative s'exprime indifféremment sous forme d'un nombre décimal ou d'un pourcentage.
Sur une mesure de longueur :
p = \dfrac{U\left(L\right)}{L} = \dfrac{1}{160} = 0{,}006 = 0{,}6 %
De façon générale, l'incertitude relative d'une mesure est d'autant plus petite (donc la précision est d'autant plus grande) que la mesure exploite au mieux le calibre de l'instrument de mesure (le plus grand mesurande possible).
On mesure deux longueurs à l'aide d'une règle de 30 cm graduée au millimètre :
- L_1 = 21{,}0 cm
- L_2 = 29{,}7 cm
La précision de chacune des mesures vaut alors :
- p_1 = \dfrac{U\left(L_1\right)}{L_1} = \dfrac{0{,}1}{21{,}0} = 0{,}5\%
- p_2 = \dfrac{U\left(L_2\right)}{L_2} = \dfrac{0{,}1}{29{,}7} = 0{,}3\%
La seconde mesure est plus précise que la première.
L'expression d'un résultat de mesure et l'acceptabilité du résultat
La convention d'écriture d'un résultat
La présentation du mesurande et de son incertitude doit respecter des consignes strictes d'écriture. Un résultat de mesure comporte trois éléments indissociables :
- La valeur numérique estimée
- L'incertitude
- L'unité (s'il y en a une)
Le dernier chiffre à retenir pour la valeur du résultat de mesure doit avoir la même position que le dernier chiffre significatif de l'incertitude.
- pH = \left(9, 2 \pm 0, 08\right) n'est pas correct, il convient d'écrire pH = \left(9{,}2 \pm 0{,}1\right).
- L = \left(16 \pm 0{,}1\right) cm est mal écrit et l'on donnera plutôt L = \left(16{,}0 \pm 0{,}1\right) cm.
La comparaison du résultat avec une valeur de référence
Pourcentage d'erreur
Le pourcentage d'erreur r permet de caractériser la qualité de la mesure. Il s'écrit le plus souvent sous forme d'un pourcentage.
On le calcule en comparant la valeur mesurée x à une valeur de référence x_{ref} :
r = \dfrac{\left|x - x_{ref}\right|}{x_{ref}}
Un protocole expérimental nous permet de déterminer la longueur d'onde d'un laser hélium-néon. On obtient \lambda = 657 nm. Cette valeur est à comparer avec celle de référence fournie par le constructeur : \lambda_{ref} = 632{,}8 nm.
Le pourcentage d'erreur vaut :
r = \dfrac{\left|\lambda - \lambda_{ref}\right|}{\lambda_{ref}} = \dfrac{\left|657 - 632{,}8\right|}{632{,}8}= 4 %
Comme le numérateur du pourcentage d'erreur est une valeur absolue, on peut également écrire :
r = \dfrac{|x_\text{ref}-x|}{x_\text{ref}}
L'amélioration de la qualité de la mesure
L'analyse de la précision de la mesure (ou incertitude relative) permet une remise en question de la méthode utilisée, surtout si la valeur obtenue semble déraisonnable. Il faudra donc analyser les sources d'erreurs.
L'évaluation des incertitudes
L'expression de l'incertitude sera toujours donnée, aucune relation n'est à connaître.
L'incertitude sur une mesure unique
La lecture sur un instrument muni de graduations
Sur un instrument muni de graduations, l'incertitude absolue sur la mesure de la grandeur X est donnée par la relation :
U\left(X\right) = 2 \times \dfrac{\text{Une graduation}}{\sqrt{12}}
On réalise une mesure de masse à l'aide d'une balance telle que celle figurant ci-dessous.
L'incertitude sur la mesure est :
U\left(m\right) = 2 \times \dfrac{\text{Une graduation}}{\sqrt{12}} = 2 \times \dfrac{50}{\sqrt{12}} = 29 g
Si la formule n'est pas donnée, par convention, l'incertitude de lecture est au minimum d'une demi-unité de graduation.
La lecture sur un instrument avec indication du fabricant
Un constructeur peut indiquer une tolérance (notée \pm t ) sur un instrument. L'incertitude a alors pour expression :
U\left(X\right) = 2 \times \dfrac{t}{\sqrt{3}}
On réalise une mesure de volume à l'aide d'une burette graduée telle que celle figurant ci-dessous.
L'incertitude sur la mesure est :
U\left(V\right) = 2 \times \dfrac{t}{\sqrt{3}} = 2 \times \dfrac{0{,}05}{\sqrt{3}} = 0{,}06 mL
À cette incertitude liée à la fabrication de l'instrument s'ajoute celle inhérente à son utilisation par l'expérimentateur, souvent beaucoup plus grande. Ainsi, il est souvent possible de ne prendre en considération que l'incertitude liée à la lecture sur l'instrument.
Sur la burette graduée précédente, l'expérimentateur ne peut effectuer une lecture plus précise qu'une demi-graduation, soit une incertitude de 0,5 mL. L'incertitude prise en compte sera donc celle de lecture et non celle donnée par le fabricant.
L'incertitude lors d'une série de mesures
Valeur moyenne d'une série de mesures
Lorsqu'un même opérateur répète plusieurs fois le mesurage d'une même grandeur X dans les mêmes conditions, il peut trouver des résultats différents. La valeur estimée est alors la valeur moyenne notée \overline{x} :
x = \overline{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}
Avec :
- x_i la valeur de la mesure i
- n le nombre total de mesures de la grandeur X
Une série de mesures de la période T des oscillations d'un pendule simple donne les valeurs suivantes :
| Numéro de la mesure | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| T\left(s\right) | 1,12 | 1,05 | 0,95 | 0,98 | 1,01 |
La valeur moyenne de la série de mesures est :
\overline{T} = \dfrac{1{,}12+1{,}05+0{,}95+0{,}98+1{,}01}{5} = 1{,}0 s
Écart-type
L'écart-type d'une série de mesures rend compte de la dispersion des mesures effectuées autour de la valeur moyenne.
Écart-type
L'écart-type, noté \sigma, se calcule à l'aide de la relation suivante :
\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}\right)^2}{n-1}}
Avec :
- x_i la valeur de la mesure i
- \overline{x} la valeur moyenne de la série de mesures
- n le nombre de mesures effectuées
Dans l'exemple qui précède sur la mesure de la période T des oscillations d'un pendule simple, l'écart-type est de :
\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}\right)^2}{n-1}}
\sigma = \sqrt{\dfrac{\left(1{,}12-1{,}0\right)^2+\left(1{,}05-1{,}0\right)^2+\left(0{,}95-1{,}0\right)^2+\left(0{,}98-1{,}0\right)^2+\left(1{,}01-1{,}0\right)^2}{5-1}} = 0{,}07 \text{s}
Incertitude absolue
L'incertitude absolue sur la valeur moyenne d'une série de mesures est liée au nombre n de mesures réalisées et à l'écart-type \sigma par la relation suivante :
U\left(X\right) = k \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
Où k est le facteur d'élargissement qui dépend du nombre de mesures et du niveau de confiance choisi sur les mesures (généralement 95%).
Pour un niveau de confiance de 95% et sur une série de 5 mesures, la valeur du coefficient d'élargissement est de 2,78. L'incertitude sur la série de mesures a donc pour valeur :
U\left(X\right) = k \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
U\left(T\right) = 2{,}78 \times \dfrac{0{,}07}{\sqrt{5}} = 0{,}09 s
Plus le nombre de mesures est grand, plus l'incertitude absolue sur la valeur moyenne est petite.
L'incertitude sur une grandeur calculée à partir d'une relation entre plusieurs grandeurs
Le calcul de l'incertitude dépend de la relation utilisée. La formule pour la calculer sera donnée dans l'énoncé si besoin.
On cherche à déterminer la masse volumique \mu d'un liquide. On mesure un certain volume V de liquide à l'éprouvette graduée, puis on détermine la masse m de ce même volume de liquide à l'aide d'une balance.
La masse volumique \mu du liquide est donnée par le rapport de la masse au volume :
\mu = \dfrac{m}{V}
La précision de la mesure (ou incertitude relative) est donnée par :
\dfrac{U\left(\mu\right)}{\mu} = \sqrt{\left(\dfrac{U\left(m\right)}{m}\right)^2+\left(\dfrac{U\left(V\right)}{V}\right)^2}
U\left(m\right) et U\left(V\right) étant à déterminer au préalable.