La cinématique et la dynamique newtonienne
Cinématique et dynamique
- La cinématique est l'étude du mouvement d'un corps, indépendamment des causes qui le produisent.
- La dynamique est l'étude du mouvement d'un corps en fonction des forces qui lui sont appliquées.
Les prérequis
Avant d'étudier ou de prévoir le mouvement d'un corps, il faut préciser le système, le référentiel et le bilan des forces qui s'exercent sur le système :
| Prérequis | Système | Référentiel | Bilan des forces |
|---|---|---|---|
| Définition | Corps dont on étudie le mouvement | Objet par rapport auquel on étudie le mouvement du système, constitué d'un repère orthonormé (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} ) associé à un repère de temps. | Inventaire des forces extérieures qui s'exercent sur le système |
| Exemples | N'importe quel corps ou ensemble de corps |
| Les forces à connaître sont :
|
Les vecteurs position, vitesse et accélération
Dans un référentiel donné, le mouvement d'un système est décrit, à chaque instant, grâce à ses vecteurs position, vitesse et accélération :
| Vecteur | Position \overrightarrow{OG} | Vitesse \overrightarrow{v} | Accélération \overrightarrow{a} |
|---|---|---|---|
| Expression selon les axes du repère | \overrightarrow{OG} = x.\overrightarrow{i} +y.\overrightarrow{j} + z.\overrightarrow{k} | Dérivée de la position par rapport au temps : \overrightarrow{v} = \dfrac{dx}{dt}.\overrightarrow{i} +\dfrac{dy}{dt}.\overrightarrow{j} + \dfrac{dz}{dt}.\overrightarrow{k} \overrightarrow{v} = v_x.\overrightarrow{i} + v_y.\overrightarrow{j} + v_z.\overrightarrow{k} | Dérivée de la vitesse par rapport au temps : \overrightarrow{a} = \dfrac{dv_x}{dt}.\overrightarrow{i} +\dfrac{dv_y}{dt}.\overrightarrow{j} + \dfrac{dv_z}{dt}.\overrightarrow{k} Donc dérivée seconde de la position par rapport au temps : \overrightarrow{a} = \dfrac{d²x}{dt²}.\overrightarrow{i} +\dfrac{d²y}{dt²}.\overrightarrow{j} + \dfrac{d²z}{dt²}.\overrightarrow{k} |
| Construction vectorielle à un instant ti | \overrightarrow{v_i} = \dfrac{\overrightarrow{OG_{i+1}} - \overrightarrow{OG_{i-1}}}{2 \tau} | \overrightarrow{a_i} = \dfrac{\overrightarrow{v_{i+1}} - \overrightarrow{v_{i-1}}}{2 \tau} | |
| Expression de la valeur à un instant ti | v_i = \dfrac{G_{i+1}G_{i-1}}{2 \tau} ( G_{i+1}G_{i-1} étant une distance) | a_i = \dfrac{v_{i+1} - v_{i-1}}{2 \tau} | |
| Unité de la valeur du vecteur | m | m.s-1 | m.s-2 |
| Orientation | Celle du mouvement au point donné | Celle de la somme des forces au point donné | |
| Dérivée du | vecteur position \overrightarrow{OG} | vecteur vitesse \overrightarrow{v} | |
| Primitive du | vecteur vitesse \overrightarrow{v} | vecteur accélération \overrightarrow{a} |
Le vecteur quantité de mouvement
Vecteur quantité de mouvement
La quantité de mouvement traduit la difficulté à modifier le mouvement d'un système. Elle est définie par un vecteur proportionnel au vecteur vitesse :
\overrightarrow{p\left(t\right)} = m \cdot \overrightarrow{v\left(t\right)}
Avec :
- \overrightarrow{p\left(t\right)} le vecteur quantité de mouvement dont la norme s'exprime en kg.m.s-1
- m la masse en kg
- \overrightarrow{v\left(t\right)} le vecteur vitesse dont la norme s'exprime en m.s-1
Les lois de Newton
| Lois | 1re loi de Newton | 2e loi de Newton | 3e loi de Newton |
|---|---|---|---|
| Autre appellation | Principe de l'inertie | Relation fondamentale de la dynamique | Principe des actions réciproques |
| Énoncé | Lorsqu'un corps n'est soumis à aucune force ou à des forces qui se compensent, alors soit il demeure au repos, soit il est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme. | La somme des forces extérieures s'exerçant sur un système est égale à la dérivée de son vecteur quantité de mouvement : \sum_{}^{} \overrightarrow{F_{ext}} = \dfrac{d\overrightarrow{p\left(t\right)}}{dt} Si la masse du système est constante, cette relation équivaut à celle-ci : \sum_{}^{} \overrightarrow{F_{ext}} = m \times \overrightarrow{a} | Si un système A exerce une force \overrightarrow{F_{A/B}} sur un système B, alors le système B exerce une force \overrightarrow{F_{B/A}} sur le système A de même intensité, ayant la même direction mais de sens opposé : \overrightarrow{F_{B/A}} = - \overrightarrow{F_{A/B}} |
| Permet de déterminer | L'état de repos ou de mouvement rectiligne et uniforme du système | L'expression du vecteur accélération du système | Les caractéristiques d'une force |
Référentiel galiléen
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel les lois de Newton sont vérifiées.
La conservation de la quantité de mouvement
De la première loi de Newton, ou principe d'inertie, résulte la conservation de la quantité de mouvement :
Conservation de la quantité de mouvement
La quantité de mouvement d'un système isolé ou pseudo-isolé (donc soumis à des forces qui se compensent) se conserve.
Cette loi permet d'interpréter les phénomènes de propulsion par réaction et le recul lors des tirs.
En effet, pour un système pseudo-isolé {A,B} composé de deux éléments mobiles A et B, la conservation de la quantité de mouvement entre deux instants (initial et final) donne les relations suivantes :
\overrightarrow{p}_{initial} = \overrightarrow{p}_{final}
m_{A} \times \overrightarrow{v}_{Ainitial} + m_{B} \times \overrightarrow{v}_{Binitial}=m_{A} \times \overrightarrow{v}_{Afinal} + m_{B} \times \overrightarrow{v}_{Bfinal}
Le cas particulier d'un système en mouvement dans un champ uniforme
La description du problème
Dans cette partie, on considère, dans un plan (Oxy), un système de masse m, de charge totale q et possédant une vitesse initiale \overrightarrow{v_0}. Le mouvement de ce système dépend du champ uniforme dans lequel il est situé.
Champ uniforme
Un champ uniforme est un champ vectoriel qui reste identique en tout point de l'espace considéré.
Le champ de pesanteur est un champ uniforme à proximité de la surface terrestre défini par le vecteur accélération de la pesanteur \overrightarrow{g} dont les caractéristiques sont les suivantes :
- Sa direction est la verticale du lieu considéré.
- Son sens est toujours celui définissant une orientation vers le sol du lieu considéré.
- Sa norme vaut environ 9,81 N.kg-1.
Le champ électrique \overrightarrow{E} entre deux armatures planes d'un condensateur est un champ uniforme dont les caractéristiques sont les suivantes :
- Sa direction est celle définie par la perpendiculaire aux surfaces des armatures.
- Son sens correspond à l'orientation pointant vers l'armature chargée négativement.
- Sa norme dépend de la différence de potentiel entre les armatures et s'exprime en V.m-1.
La deuxième loi de Newton permet de relier les actions mécaniques qui agissent sur un système et leur conséquence sur le mouvement de ce système. Elle permet donc de prévoir l'évolution du mouvement d'un système en donnant les équations horaires de son mouvement (x(t), y(t) et z(t)) et l'équation de sa trajectoire (en deux dimensions et suivant le nom de l'axe vertical y(x) ou z(x)).
Les équations vectorielles du mouvement
Pour trouver les équations du mouvement, il faut :
- Définir le système étudié
- Définir le référentiel d'étude (qui doit être galiléen)
- Faire le bilan des forces
- Écrire la deuxième loi de Newton, qui donne l'expression du vecteur accélération du système (puisque sa masse est constante)
Expression du vecteur accélération
Pour un système de masse constante, la deuxième loi de Newton donne :
\sum_{}^{} \overrightarrow{F_{ext}} = m \overrightarrow{a}
Soit :
- Si le système est soumis à un champ de pesanteur : \overrightarrow{P} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow m \overrightarrow{g} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}
- Si le système est soumis à un champ électrique : \overrightarrow{F_e} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow q \overrightarrow{E} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} = \dfrac{q}{m}\overrightarrow{E}
Composantes du vecteur accélération
Les composantes du vecteur accélération dans le repère (Oxy) dépendent alors de celles du champ de pesanteur ou du champ électrique :
- Dans un champ de pesanteur : \overrightarrow{a}\begin{cases} a_x \cr \cr a_y \end{cases} = \overrightarrow{g}\begin{cases} g_x \cr \cr g_y \end{cases}
- Dans un champ électrique : \overrightarrow{a}\begin{cases} a_x \cr \cr a_y \end{cases} = \dfrac{q}{m}\times \overrightarrow{E}\begin{cases} \dfrac{q}{m} \times E_x \cr \cr \dfrac{q}{m} \times E_y \end{cases}
Il faut donc déterminer les composantes des vecteurs \overrightarrow{g} et \overrightarrow{E}, en fonction de leur orientation dans le repère.
Par la suite, on prendra les configurations suivantes :
- Vecteur champ de pesanteur \overrightarrow{g} colinéaire à l'axe (Oy) mais de sens opposé (figure 1), ce qui donne : \overrightarrow{g}\begin{cases} g_x = 0 \cr \cr g_y = -g\end{cases} et donc : \overrightarrow{a}\begin{cases} a_x = 0 \cr \cr a_y = - g \end{cases}
- Vecteur champ électrique \overrightarrow{E} colinéaire à l'axe (Ox) et de même sens (figure 2), ce qui donne : \overrightarrow{E}\begin{cases} E_x = E \cr \cr E_y = 0\end{cases} et donc : \overrightarrow{a}\begin{cases} a_x = \dfrac{q}{m} \times E \cr \cr a_y = 0 \end{cases}
Les équations horaires et l'équation de la trajectoire
Équations horaires
Les équations horaires sont les équations donnant la position du système en fonction du temps. Elles s'obtiennent en intégrant deux fois les équations du mouvement (composantes de l'accélération).
Équations horaires de la vitesse
On obtient les équations horaires de la vitesse du système en intégrant les composantes du vecteur accélération en fonction du temps. Les constantes d'intégration sont alors égales aux composantes du vecteur vitesse initiale \overrightarrow{v_0} du système.
- Dans le cas du champ de pesanteur précédent : \overrightarrow{v\left(t\right)} \begin{cases} v_{x} = v_{0x} \cr \cr v_{y} =-g \times t + v_{0y} \cr \end{cases}
- Dans le cas du champ électrique précédent : \overrightarrow{v\left(t\right)} \begin{cases} v_{x} = \dfrac{q}{m} \times E \times t + v_{0x} \cr \cr v_{y} = v_{0y} \cr \end{cases}
Équations horaires de la position
On obtient les équations horaires de la position du système en intégrant les composantes du vecteur vitesse en fonction du temps. Les constantes d'intégration sont alors égales aux composantes du vecteur position initiale \overrightarrow{OG_0} du système.
- Dans le cas du champ de pesanteur précédent : \overrightarrow{OG\left(t\right)} \begin{cases} x = v_{0x} \times t + x_0\cr \cr y =- \dfrac{1}{2} g \times t² + v_{0y} \times t + y_0\cr \end{cases}
- Dans le cas du champ électrique précédent : \overrightarrow{OG\left(t\right)} \begin{cases} x = \dfrac{q}{2 m} \times E \times t² + v_{0x} \times t + x_0\cr \cr y = v_{0y} \times t + y_0 \cr \end{cases}
En éliminant le temps des équations horaires, on obtient l'équation de la trajectoire.
Équation de la trajectoire
En exprimant la variable t en fonction d'une des deux variables (celle dont l'équation horaire est la plus simple) puis en remplaçant l'expression de t ainsi obtenue dans la deuxième équation horaire, on obtient l'équation de la trajectoire (y(x) plus rarement x(y)) :
- Dans le cas du champ de pesanteur précédent : t = \dfrac{x-x_o}{v_{0x}} \Rightarrow y =- \dfrac{1}{2} g \times \left(\dfrac{x-x_o}{v_{0x}}\right)^2 + v_{0y} \times \left(\dfrac{x-x_o}{v_{0x}}\right) + y_0
- Dans le cas du champ électrique précédent : t = \dfrac{y-y_o}{v_{0y}} \Rightarrow x = \dfrac{q}{2 m} \times E \times \left(\dfrac{y-y_o}{v_{0y}}\right)^2 + v_{0x} \times \left(\dfrac{y-y_o}{v_{0y}}\right) + x_0
Si l'équation de la trajectoire est du type y_{\left(x\right)} = A\times x² + B \times x + C, alors la trajectoire du système est une parabole.
Le cas particulier des planètes et des astres
La loi universelle de la gravitation
Loi universelle de la gravitation
La loi universelle de la gravitation est une loi empirique vérifiée expérimentalement qui traduit l'action mécanique qu'exercent l'un sur l'autre deux corps possédant une masse.
Les forces \overrightarrow{F_{A/B}} et \overrightarrow{F_{B/A}} sont les forces de gravitation entre les objets A et B. La loi universelle de la gravitation donne l'expression de ces forces :
\overrightarrow{F_{A/B}}= - \overrightarrow{F_{B/A}}= - G \dfrac{m_A\times m_B}{r^2}\overrightarrow{e_{AB}}
Avec :
- G la constante universelle de gravitation : G=6{,}67.10^{-11} m3.kg-1.s-2
- m_A la masse du corps A (en kg)
- m_B la masse du corps B (en kg)
- r la distance entre les deux corps (en m)
- \overrightarrow{e_{AB}} le vecteur unitaire orienté de A vers B
La description du problème
On étudie le mouvement d'un objet O, de masse m, attiré par un astre A de masse M.
L'objet O étant en rotation, on utilise un repère mobile (ou repère de Frenet) (O, \overrightarrow{U_N}, \overrightarrow{U_T} ), qui simplifie les composantes du vecteur accélération.
Les lois de Kepler
Les lois de Kepler sont des lois empiriques qui décrivent la trajectoire des planètes du système solaire autour du Soleil et par extension celles de tout corps autour d'un astre attracteur :
| 1re loi de Kepler | 2e loi de Kepler | 3e loi de Kepler | |
|---|---|---|---|
| Énoncé | Les orbites définissant les trajectoires des planètes sont elliptiques, l'un des foyers de ces ellipses étant le Soleil. | Le rayon reliant une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux. | Le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube du demi-grand axe de l'ellipse a (ou le rayon de l'orbite, dans le cas où elle est circulaire) est constant : \dfrac{T^2}{a^3}=constante |
L'équation du mouvement
Avant d'appliquer la deuxième loi de Newton, il faut :
- Définir le système : objet O de masse m, en orbite circulaire autour de l'astre A avec un rayon r.
- Définir le référentiel d'étude : référentiel considéré galiléen rattaché à l'astre A considéré fixe.
- Faire le bilan des forces : force d'attraction gravitationnelle de l'astre A sur l'objet O d'expression \overrightarrow{F_{A/O}}= G\dfrac{M \times m}{r^2} \overrightarrow{u_{N}}.
Équation du mouvement
En appliquant la deuxième loi de Newton, à l'objet O de masse constante, la deuxième loi de Newton donne :
\sum_{}^{} \overrightarrow{F_{ext}} = m \overrightarrow{a}
m \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F_{A/O}}= G\dfrac{M \times m}{r^2} \overrightarrow{u_{N}}
\overrightarrow{a} = G\dfrac{M }{r^2} \overrightarrow{u_{N}}
Soit :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} = 0 \cr \cr a_N = \dfrac{v²}{r} = G\dfrac{M }{r^2} \end{cases}
Les conséquences de l'équation du mouvement
L'équation du mouvement de l'objet O en rotation autour de l'astre A permet d'affirmer que :
- Le mouvement circulaire est forcément uniforme : puisque a_T = \dfrac{dv}{dt} = 0, v est constante.
- La valeur de la vitesse de l'objet O est : v = \sqrt{\dfrac{GM }{r}} puisque a_N = \dfrac{v²}{r} = G\dfrac{M }{r^2}.
- La période de révolution T de l'objet O est telle que T^2 = \dfrac{4 \pi^2 r^3}{GM} (on retrouve ainsi la 3e loi de Kepler), puisque la durée mise par cet objet à effectuer un tour autour de l'astre A est donnée par : T = \dfrac{d}{v} = \dfrac{2 \pi r}{v} = \dfrac{2 \pi r}{\sqrt{\dfrac{GM }{r}}}
L'étude énergétique
Le travail d'une force
Généralités
Le travail d'une force caractérise l'énergie que cette force transfère au système.
Travail d'une force
Le travail W d'une force constante \overrightarrow{F} s'exerçant sur un système qui se déplace d'un point A à un point B est égal au produit scalaire du vecteur \overrightarrow{F} par le vecteur \overrightarrow{AB} :
W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right) = \overrightarrow{F} . \overrightarrow{AB} = F \times AB \times cos\alpha
Où :
- Le travail W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right) est exprimé en Joules (J).
- F est la valeur de la force \overrightarrow{F}, exprimée en Newtons (N).
- AB est la distance séparant les points A et B, exprimée en mètres (m).
- \alpha est l'angle entre les vecteurs \overrightarrow{F} et \overrightarrow{AB}.
En fonction de l'orientation de la force \overrightarrow{F} relativement au vecteur déplacement \overrightarrow{AB}, on distingue plusieurs types de travail :
| Nature du travail | Moteur | Nul | Résistant |
|---|---|---|---|
| Signe de la valeur W du travail | Positif | Négatif | |
| Valeur de l'angle \alpha | 0° \leqslant \alpha \lt 90° | \alpha = 90° | 90° \lt \alpha \leqslant 180° |
Le travail du poids
Travail du poids
Le travail du poids ne dépend que de la différence d'altitude entre les points A et B :
W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = \overrightarrow{P} . \overrightarrow{AB} = m \times g \times \left(z_A - z_B\right)
Où :
- m est la masse du système, exprimée en kilogrammes (kg).
- zAet zB sont les altitudes des points A et B, exprimées en mètres (m).
- Lorsque le système descend, on a z_A \gt z_B, le travail du poids est donc positif et moteur.
- Lorsque le système s'élève, on a z_A \lt z_B, le travail du poids est donc négatif et résistant.
Le travail de la force électrique
Travail de la force électrique
Le travail de la force électrique ne dépend que de la différence de potentiel électrique entre les points A et B :
W_{AB}\left(\overrightarrow{F_e}\right) = \overrightarrow{F_e} . \overrightarrow{AB} = q \times \left(V_A - V_B\right) = q \times U_{AB}
Où :
- q est la charge électrique du système, exprimée en coulombs (C).
- VAet VBsont les potentiels électriques des points A et B, exprimés en volts (V).
- UAB est la tension électrique entre les points A et B, exprimée en volts (V).
Le travail des forces de frottements
Travail des forces de frottements
Le travail des forces de frottements lors d'un mouvement rectiligne entre les points A et B :
W_{AB}\left(\overrightarrow{f}\right) = \overrightarrow{f} . \overrightarrow{AB} = -f \times AB
Où :
- f est la valeur de la résultante des forces de frottements, exprimée en Newtons (N).
- AB est la distance séparant les points A et B, exprimés en mètres (m).
Les forces conservatives
Force conservative
Une force est conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi.
- Le poids et la force électrique sont des forces conservatives.
- Les forces de frottements ne sont pas conservatives.
On peut associer à une force conservative une énergie potentielle. Le travail de la force lors d'un déplacement AB correspond alors à l'opposé de la variation de son énergie potentielle.
L'énergie potentielle associée au poids est l'énergie potentielle de pesanteur, d'expression E_{PP} = m \times g \times z (à une constante près). Ainsi, lors d'un déplacement AB :
W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = - \Delta E_{PP} = - \left(E_{\text{PP B}} - E_{\text{PP A}}\right) = - m \times g \times z_B + m \times g \times z_A = m \times g \times \left(z_A - z_B\right)
L'énergie mécanique
Énergie mécanique
L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur :
E_M = E_C + E_{PP}
E_M = \dfrac{1}{2}m\times v^2 + m \times g \times z
Théorème de l'énergie mécanique
L'énergie mécanique d'un système soumis uniquement à des forces conservatives (ou à des forces qui ne travaillent pas) se conserve :
\Delta E_M = \Delta E_C + \Delta E_{PP} = 0
Si le système est soumis à une force non conservative, la variation de son énergie mécanique est égale au travail de celle-ci :
\Delta E_M = \Delta E_C + \Delta E_{PP} = W\left(\overrightarrow{F}_{\text{non conservative}}\right)
Si un pendule oscille sans frottements, il n'est soumis qu'à son poids (qui est une force conservative) et à la tension du fil (qui ne travaille pas, car elle est toujours perpendiculaire à la trajectoire). Ainsi, on peut en déduire que :
- Son énergie mécanique se conserve.
- Les transferts d'énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique se font sans pertes.
Si le pendule est soumis à une force de frottements (qui est une force non conservative), son énergie mécanique ne peut se conserver et diminue, car le travail des forces de frottements est négatif :
\Delta E_M = \Delta E_C + \Delta E_{PP} = W\left(\overrightarrow{f}\right) \lt 0
Lors des transferts d'énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique, une partie de l'énergie du pendule est dissipée.
Temps et relativité restreinte
Les postulats d'Einstein
Albert Einstein formule en 1905 la théorie de la relativité restreinte qui est une prolongation du principe de la relativité de Galilée. Il énonce pour cela deux postulats :
- Les lois de la physique sont les mêmes dans tout référentiel galiléen (il reprend le principe de la relativité de Galilée).
- La vitesse de la lumière dans le vide c est la même quel que soit le référentiel et vaut 3{,}00 \times10^8 mètres par seconde. C'est ce que l'on nomme l'invariance de la vitesse de la lumière.
De ces deux postulats découlent plusieurs conséquences. L'une des plus importantes est la notion de relativité du temps.
La relativité du temps
La durée d'un événement dépend de l'horloge qui l'a mesurée.
Relation entre durée mesurée et durée propre
La durée \Delta t_m d'un événement mesurée par un observateur en mouvement par rapport au référentiel dans lequel l'événement a lieu et la durée propre \Delta t_p de cet événement (mesurée dans le référentiel dans lequel l'événement a lieu) sont liées par la relation :
\Delta t_m = \gamma \times \Delta t_p
Où \gamma est le facteur de Lorentz : \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}, qui dépend de la célérité de la lumière c et de la vitesse v de l'observateur par rapport au référentiel dans lequel l'événement a lieu.
La célérité de la lumière étant une vitesse limite, on a toujours v \lt c, soit \gamma \gt 1.
En conséquence, la durée mesurée d'un événement est toujours supérieure à sa durée propre.