La Roue de Falkirk (en anglais Falkirk Wheel) est un ascenseur rotatif à bateaux, reliant le canal inférieur (Forth and Clyde Canal) au canal supérieur (Union Canal), près de la ville de Falkirk dans le centre de l'Écosse. L'ouverture de l'ascenseur en 2002 a permis le passage des bateaux d'un canal à l'autre. L'édifice se substitue à un ancien escalier d'écluses.
La Roue de Falkirk
Schéma de la Roue de Falkirk (vue de face)
La Roue de Falkirk mesure 35 mètres de haut.
Le système d'ascenseur permet d'élever les bateaux d'une hauteur de 24 m.
La durée d'une ascension d'un godet avec son bateau est estimée à 5 min 30 s.
Le bras tournant comporte deux godets remplis d'eau situés à chacune de ses extrémités.
Un système de roues dentées permet la rotation du bras tout en maintenant l'eau à l'horizontale dans les godets.
La masse totale d'un godet avec l'eau et le bateau peut être estimée à 500 tonnes.
La distance entre C le centre de la roue et le centre du godet (G) est de 12 m.
Un joule est égal à un wattseconde : 1 J = 1 W.s
Un wattheure vaut 3600 joules : 1 Wh = 3600 J
Dans tout l'exercice, on notera v la valeur du vecteur vitesse \overrightarrow{v}. De même, on notera a la valeur du vecteur accélération \overrightarrow{a}.
Le référentiel d'étude du mouvement
Trois personnes observent le système lorsque le bras tournant est en mouvement. Un référentiel est lié à chacun des observateurs suivants :
- R1 : référentiel lié à une touriste sur la berge, immobile par rapport au sol.
- R2 : référentiel lié à un voyageur assis dans le bateau.
- R3 : référentiel lié à un technicien installé dans le godet opposé à celui contenant le bateau et immobile par rapport à son godet.
Pour réaliser une étude du mouvement du système et appliquer les lois de Newton, quel référentiel faut-il choisir parmi ceux proposés ? Justifier votre réponse.
Le référentiel R1 est un référentiel terrestre qui peut être considéré comme galiléen.
Les deux autres référentiels R2et R3ne sont pas animés d'un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel terrestre. Ils ne sont pas donc pas galiléens.
Or, les lois de Newton s'appliquent dans un référentiel galiléen.
Le référentiel R1 convient le mieux pour appliquer les lois de Newton.
Le système d'enregistrement du mouvement
Le système d'enregistrement permet de prendre une succession de photographies à intervalles de temps égaux, puis de les superposer afin d'étudier un mouvement. La superposition des photographies de la roue prises par un photographe amateur depuis la rive et un dispositif de pointage ont permis de repérer l'évolution de la position du point G lors de l'ascension d'un bateau.
Les trois graphiques A, B et C ci-dessous représentent trois évolutions temporelles possibles de la valeur de la vitesse du point G.
Lequel correspond à l'ascension du bateau ?
Représentation graphique A
Représentation graphique B
Représentation graphique C
D'après la superposition des photographies, on remarque que l'écart entre chaque points est le même. Les distances G1G2, G2G3,... sont donc égales.
De plus, chacune des positions a été enregistré à des intervalles de temps régulier. On en déduit que le mouvement est uniforme et que la vitesse est constante.
De plus, on peut admettre que G_1G_2 = 3{,}3 m.
Ainsi :
v=\dfrac{d}{t}
v=\dfrac{3{,}3}{30}
v = 0{,}11 m.s-1
Soit :
v = 11 cm.s-1
C'est donc le graphique B représentant une vitesse constante de 11 cm.s-1 qui correspond à l'évolution temporelle de la valeur de la vitesse du point G.
Quelle est la nature du mouvement du point G ?
Le point G décrit un cercle et sa vitesse est constante.
Le mouvement de G est circulaire uniforme.
Quel adjectif peut qualifier l'accélération du système ?
Puisque la vitesse tangentielle du système est constante, la composante tangentielle de son accélération est nulle. Le vecteur accélération est donc en permanence dirigé vers le centre du cercle C.
L'accélération du système est donc centripète.
Le roulis
Définition : Le roulis est un mouvement d'oscillations latérales du navire. Sur le schéma ci-contre, la double flèche symbolise le roulis du bateau. Afin d'éviter le roulis du bateau lors de l'ascension, la valeur de l'accélération du système, dans son mouvement de rotation autour du centre C de la roue, doit être faible. On admet que si l'accélération du système, dans son mouvement de rotation autour de C, ne dépasse pas un centième de l'accélération de la pesanteur terrestre, alors le roulis est négligeable.
Donnée : valeur de l'intensité du champ de pesanteur terrestre, g = 9{,}8 m.s-2
Sachant que le vecteur accélération \overrightarrow{a_{3}} mesure 1,4 cm sur le document et que 1 cm sur le schéma représente 8{,}0 \times10^{-4} m.s-2 dans la réalité, déterminer la valeur de l'accélération du godet avec l'eau et son bateau.
Le roulis est-il négligeable ?
On a :
a_3 = 1{,}4 \times 8{,}0 \times 10^{-4}
a_3 = 1{,}1 \times 10^{-3} m s-2
On peut comparer cette accélération à l'accélération de pesanteur terrestre ( g = 9{,}8 m.s-2)
\dfrac{g}{a_3} = \dfrac{9{,}81}{1{,}1\times10^{-3}}
\dfrac{g}{a_3} = 9\times10^3
L'accélération du roulis est donc fortement négligeable par rapport à l'accélération de pesanteur terrestre.
Énergie nécessaire au fonctionnement de la Roue de Falkirk
Quelle est la valeur de la variation d'énergie mécanique d'un godet avec l'eau et son bateau lors de son ascension ?
L'ensemble est immobile tant au départ qu'à l'arrivée.
Les énergies cinétiques initiale et finale étant nulles, on en déduit que la variation d'énergie mécanique est égale à la variation de l'énergie potentielle de pesanteur.
E_M = E_{pp f} - E_{pp i}
E_M = mgh
E_M = 500 \times 10^3 \times 9{,}8 \times 24
E_M = 1{,}2 \times 10^8 J
La variation d'énergie mécanique est égale à 1{,}2 \times 10^8 J.
Quelle est la relation correcte entre l'énergie et la puissance parmi les 3 expressions proposées ci-dessous ?
On sait que la puissance P correspond à l'énergie transférée par unité de temps.
La relation correcte est :
E = P \times \Delta t
Sachant que l'ensemble des moteurs hydrauliques transmet une puissance de 22,5 kilowatts à la Roue de Falkirk, quelle est l'énergie fournie par les moteurs lors d'une ascension ?
On a donc :
E = P \times \Delta t
E = 22{,}5 \times 10^3 \times 330
E = 7{,}43 \times 10^6 J
L'énergie fournie par les moteurs lors d'une ascension vaut 7{,}43 \times 10^6 J.
Pourquoi l'énergie fournie par les moteurs est très inférieure à celle reçue par le godet avec l'eau et le bateau lors de son ascension ?
Étant donné que le godet situé à l'opposé du godet contenant le bateau descend, on en déduit que le travail de son poids est positif. Le dispositif reçoit alors de l'énergie.
L'énergie fournie par les moteurs est donc inférieure à celle reçue par le godet avec l'eau et le bateau lors de son ascension.
Estimation de l'énergie nécessaire au fonctionnement de huit bouilloires électriques
Données :
Capacité thermique massique de l'eau : ceau = 4,2.103 J.kg-1 .°C-1
Masse volumique de l'eau : ρeau = 1,0 kg.L-1
Contenance de chaque bouilloire : 3,0 L
Quelle est la valeur de l'énergie nécessaire pour porter à ébullition l'eau de ces huit bouilloires ?
Le candidat est invité à estimer certaines grandeurs, à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie même si elle n'a pas abouti. La démarche suivie est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.
On peut estimer que l'eau que l'on fait chauffer est à température ambiante (soit 20°C). On fait chauffer l'eau jusqu'à ébullition (soit 100°C à pression atmosphérique).
La différence de température de l'eau (qui est la même en degré Celsius ou en Kelvin) est alors :
\Delta T =100 - 20
\Delta T = 80 °C
L'énergie qui a donc été transférée à l'eau est :
E = m \times c_{eau} \times \Delta T
Étant donné que l'on veut faire chauffer huit bouilloires de 3,0 L chacune, la masse d'eau à considérer est :
m = 8 \times 3
m = 24 kg
D'où :
E = 24 \times 4{,}2 \times 10^3 \times 80
E = 8{,}0 \times 10^6 J
L'énergie nécessaire pour porter à ébullition l'eau de ces huit bouilloires est de 8{,}0 \times 10^3 kJ.
Comparaison des énergies
D'après les questions précédentes, l'affirmation "La roue tourne en utilisant l'énergie de huit bouilloires en fonctionnement" est-elle plausible ou totalement farfelue ?
L'affirmation "La roue tourne en utilisant l'énergie de huit bouilloires en fonctionnement." est plausible car les énergies obtenues dans les question 5b et 7 sont du même ordre de grandeur.