Soit la figure ci-dessous représentant Saturne (S), son satellite Titan (T) et un axe (Ox) joignant leurs centres.
L'échelle, valable uniquement pour les distances et positions sur (Ox), et non pas pour la taille des astres, figure sur le coin inférieur gauche.
Données :
- G, la constante de gravitation universelle ( 6{,}674 \times 10^{-11} N.m2.kg–2)
- m_{S} = 5{,}6846 \times 10^{26} kg, la masse de Saturne
- m_{T} = 1{,}3452 \times 10^{23} kg, la masse de Titan
- d_{TS} = 1{,}22187 \times 10^{9} m, la distance séparant les deux corps
Quelles sont les expressions des champs de gravitation créés par Saturne et Titan en fonction de x ?
La force d'attraction gravitationnelle exercée par un corps A sur un corps B s'exprime à l'aide de la formule générale suivante :
F_{A/B} = G \times \dfrac{ m_{A}\times m_{B}}{d^{2}}
Avec :
- G, la constante de gravitation universelle ( 6{,}67 \times 10^{-11} N.m2.kg–2)
- m_{A} , la masse du corps A (en kg)
- m_{B} , la masse du corps B (en kg)
- d, la distance séparant les deux corps (en m)
Ce que l'on peut aussi exprimer vectoriellement :
\overrightarrow{F_{A/B}} = \overrightarrow{g_{A}} \times m_{B}
Avec \overrightarrow{g_{A}} représentant le champ de gravitation exercé par le corps A, qu'il y ait ou non une masse m_{B} pour en subir les effets.
On déduit de ces deux formules une nouvelle expression de la valeur g_A :
g_{A} = G \times \dfrac{ m_{A}}{d^{2}}
Expression du champ de gravitation créé par Saturne
Le centre de gravité de Saturne ayant été placé à l'origine de l'axe (Ox), on remplace simplement la distance d par x dans l'expression déterminée ci-dessus :
g_{S} = G \times \dfrac{ m_{S}}{x^{2}}
Pour obtenir l'expression en fonction de x uniquement, on remplace G et m_{S} par leurs valeurs. On obtient :
g_{S} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \dfrac{ 5{,}6846 \times 10^{26}}{x^{2}}
g_{S} = \dfrac{ 3{,}794 \times 10^{16}}{x^{2}}
Expression du champ de gravitation créé par Titan
Le centre de gravité de Saturne ayant été placé à l'origine de l'axe (Ox), celui de Titan en est à la distance d_{ST}. On en déduit que n'importe quel point sur l'axe (Ox) se trouve à une distance d_{ST}-x du centre de Titan.
On remplace alors la distance d dans l'expression d'un champ gravitationnel par d_{ST}-x ce qui donne :
g_{T} = G \times \dfrac{ m_{T}}{\left(d_{ST}-x\right)^{2}}
Pour obtenir l'expression en fonction de x uniquement, on remplace G, d_{ST} et m_{T} par leurs valeurs :
g_{T} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \dfrac{1{,}3452 \times 10^{23}}{\left(1{,}22187 \times 10^{9}-x\right)^{2}}
g_{T} = \dfrac{8{,}978 \times 10^{12}}{\left(1{,}22187 \times 10^{9}-x\right)^{2}}
- g_{S} = \dfrac{ 3{,}794 \times 10^{16}}{x^{2}}
- g_{T} = \dfrac{8{,}978 \times 10^{12}}{\left(1{,}22187 \times 10^{9}-x\right)^{2}}
Sur quel schéma les champs de gravitation créés par Saturne et par Titan en fonction de x sont-ils correctement représentés ?
Il s'agit d'un champ attractif donc cela signifie que ses lignes de champ convergent vers le centre de gravité de sa source (soit le centre de Saturne, soit le centre de Titan comme ici).
Même si, rigoureusement, les lignes de ces deux champs interfèrent, il est acceptable de les représenter comme des droites tant qu'on ne les fait pas se croiser (on ne les représente pas allant jusqu'au centre de l'astre car celui-ci est supposé ponctuel).
Pour quelles valeurs de x ces champs ont-ils la même valeur ?
Mise en place de l'équation
Ces champs de gravitation ont la même valeur lorsque les expressions de g_{S} et g_{T} sont égales, soit :
g_{S} = g_{T}
\Leftrightarrow \dfrac{ 3{,}794 \times 10^{16}}{x^{2}} = \dfrac{8{,}978 \times 10^{12}}{\left(1{,}22187 \times 10^{9}-x\right)^{2}}
\Leftrightarrow \dfrac{ 3{,}794 \times 10^{16}}{x^{2}} = \dfrac{8{,}978 \times 10^{12}}{\left(x^{2}-2{,}44374 \times 10^{9}\times x + 1{,}49297 \times 10^{18} \right)}
\Leftrightarrow 3{,}794 \times 10^{16} \times \left(x^{2}-2{,}44374 \times 10^{9}\times x + 1{,}49297 \times 10^{18} \right) = 8{,}978 \times 10^{12} \times x^{2}
\Leftrightarrow 3{,}794 \times 10^{16} \times x^{2}-9{,}272 \times 10^{25}\times x + 5{,}664 \times 10^{34} = 8{,}978 \times 10^{12} \times x^{2}
\Leftrightarrow 3{,}793 \times 10^{16} \times x^{2}-9{,}272 \times 10^{25}\times x + 5{,}664 \times 10^{34} = 0
On reconnaît une équation du second degré.
Calcul du discriminant
Une équation du second degré peut s'écrire sous la forme ax^{2} + bx + c = 0. Son discriminant vaut alors \Delta = b^{2} - 4ac.
Dans le cas de l'équation 3{,}793 \times 10^{16} \times x^{2}-9{,}272 \times 10^{25}\times x + 5{,}664 \times 10^{34} = 0, cela donne :
\Delta = 8{,}597 \times 10^{51} - 4\times 3{,}793 \times 10^{16} \times 5{,}664 \times 10^{34}
\Delta = 3{,}579\times 10^{48}
Comme \Delta\gt0, le trinôme a deux racines réelles.
Détermination des solutions de l'équation
Les deux solutions de l'équation sont :
x_{1} =\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} et x_{2} =\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
Soit :
x_{1} =\dfrac{9{,}272 \times 10^{25} - \sqrt{3{,}579\times 10^{48}}}{2 \times 3{,}793 \times 10^{16}}
x_{1} =1{,}197 \times 10^{9} m
Et :
x_{2} =\dfrac{9{,}272 \times 10^{25} + \sqrt{3{,}579\times 10^{48}}}{2 \times 3{,}793 \times 10^{16}}
x_{2} =1{,}247 \times 10^{9} m
Ces deux valeurs de x, pour lesquelles les champs gravitationnels de Saturne et de Titan ont la même valeur, sont donc de part et d'autre de cette dernière sur la direction (Ox). Elles correspondent en fait à la position de deux des points de Lagrange du système Saturne-Titan.
Les valeurs de x pour lesquelles ces champs ont la même valeur sont donc : x_{1} =1{,}197 \times 10^{9} m et x_{2} =1{,}247 \times 10^{9} m.
Un corps P est soumis à la même attraction de la part de Saturne et de Titan, à la distance la plus faible déterminée précédemment.
Quelle est la représentation correcte de cette situation ?
On a le choix entre les deux valeurs de x précédemment déterminées. On choisit ici la première, ce qui donne, à l'échelle :
