Un radar de vitesse est un appareil permettant de contrôler la vitesse des véhicules sur la route. Ces appareils sont des applications directes de l'effet Doppler : une onde électromagnétique est émise par le radar en direction d'un véhicule approchant. Cette onde est réfléchie par le véhicule et est captée par le radar. La différence de fréquence entre l'onde émise et l'onde reçue permet de déterminer la vitesse du véhicule, via la relation :
v_{\text{véhicule (km.h}^{-1}\text{)}}=\dfrac{1{,}8 \times \Delta f_{\text{(Hz)}} \times c_{\text{(m.s}^{-1}\text{)}}}{f_{\text{émise (Hz)}} \times \cos(\theta)}
Avec v_{\text{véhicule}} la vitesse du véhicule, \Delta f la différence entre la fréquence émise par le radar f_{\text{émise}} et la fréquence reçue par le radar, c la célérité de l'onde et \theta l'angle de visée du radar :
Pour que la mesure soit exacte, le radar doit être positionné avec un angle \theta = 25°.
Une marge d'erreur de 5 % à la faveur des conducteurs est appliquée pour les vitesses supérieures à 100 \text{ km.h}^{-1} et une marge d'erreur fixe de 5 \text{ km.h}^{-1} est appliquée pour les vitesses inférieures à 100 \text{ km.h}^{-1}.
Lors d'un contrôle routier effectué par des gendarmes sur une autoroute limitée à 130\text{ km.h}^{-1}, la variation de fréquence mesurée par leur appareil lors du passage d'une voiture est de 5,20 kHz.
Les gendarmes utilisent un radar dont la fréquence émise est de 24,1 GHz.
En supposant que le radar est correctement positionné, quelle est la vitesse de cette voiture ?
Donnée : La célérité de l'onde est c=3{,}00.10^8 \text{m.s}^{-1}.
On utilise la formule donnée dans l'énoncé :
v_{\text{véhicule (km.h}^{-1}\text{)}}=\dfrac{1{,}8 \times \Delta f_{\text{(Hz)}} \times c_{\text{(m.s}^{-1}\text{)}}}{f_{\text{émise (Hz)}} \times \cos(\theta)}
Ici, il faut convertir les fréquences :
- 5{,}20 \text{ kHz}=5{,}20.10^3 \text{ Hz}
- 24{,}1 \text{ GHz}=24{,}1.10^9 \text{ Hz}
D'où l'application numérique :
v=\dfrac{1{,}8 \times 5{,}20.10^3 \times 3{,}00.10^8}{24{,}1.10^9 \times \cos(25)}
v=129\text{ km.h}^{-1}
La vitesse de la voiture est de 129\text{ km.h}^{-1}.
Quelle aurait été la vitesse de la voiture pour la même variation de fréquence mesurée si l'appareil avait été installé avec un angle \theta = 35° ?
On utilise la formule donnée dans l'énoncé :
v_{\text{véhicule (km.h}^{-1}\text{)}}=\dfrac{1{,}8 \times \Delta f_{\text{(Hz)}} \times c_{\text{(m.s}^{-1}\text{)}}}{f_{\text{émise (Hz)}} \times \cos(\theta)}
Ici, il faut convertir les fréquences :
- 5{,}20 \text{ kHz}=5{,}20.10^3 \text{ Hz}
- 24{,}1 \text{ GHz}=24{,}1.10^9 \text{ Hz}
D'où l'application numérique :
v=\dfrac{1{,}8 \times 5{,}20.10^3 \times 3{,}00.10^8}{24{,}1.10^9 \times \cos(35)}
v=142\text{ km.h}^{-1}
La vitesse de la voiture aurait été de 142\text{ km.h}^{-1}.
La voiture aurait-elle était en infraction si le radar avait été positionné avec l'angle \theta = 35° ?
Même en appliquant la marge d'erreur de 5 %, on a :
142 - \dfrac{142 \times 5}{100}= 135\text{ km.h}^{-1}
La vitesse est supérieure à 130\text{ km.h}^{-1} malgré la marge d'erreur.
Oui, la voiture aurait été en infraction.
Lors de ce même contrôle routier (\theta = 25°), la variation de fréquence mesurée par le radar lors du passage d'un second véhicule est de 5{,}50\text{ kHz}.
Quelle est la vitesse de ce second véhicule ?
On utilise la formule donnée dans l'énoncé :
v_{\text{véhicule (km.h}^{-1}\text{)}}=\dfrac{1{,}8 \times \Delta f_{\text{(Hz)}} \times c_{\text{(m.s}^{-1}\text{)}}}{f_{\text{émise (Hz)}} \times \cos(\theta)}
Ici, il faut convertir les fréquences :
- 5{,}20 \text{ kHz}=5{,}20.10^3 \text{ Hz}
- 24{,}1 \text{ GHz}=24{,}1.10^9 \text{ Hz}
D'où l'application numérique :
v=\dfrac{1{,}8 \times 5{,}50.10^3 \times 3{,}00.10^8}{24{,}1.10^9 \times \cos(25)}
v=136\text{ km.h}^{-1}
La vitesse du second véhicule est de 136 \text{ km.h}^{-1}.
Ce second véhicule est-il en infraction ?
En appliquant la marge d'erreur de 5 %, on a :
136 - \dfrac{136 \times 5}{100}= 129\text{ km.h}^{-1}
La vitesse est inférieure à 130\text{ km.h}^{-1} en appliquant la marge d'erreur.
Non, ce second véhicule n'est pas en infraction.