L'étude des phénomènes aléatoires est restée avant cette année à des cas simples de situations la plupart du temps équiprobables. Dans la réalité, les choses sont souvent un peu plus complexe et on commence ici à découvrir d'autres cas.
Tableaux croisés d'effectifs
Les tableaux croisés d'effectifs permettent de regrouper des informations et sont souvent utiles dans l'étude des phénomènes aléatoires.
Fréquences marginales
Lorsque l'on utilise un tableau croisé d'effectifs, on possède des données.
Mais à partir de ces données, on peut effectuer des calculs permettant une interprétation plus fine de la situation étudiée. C'est le cas notamment lorsque l'on calcule les fréquences marginales.
Fréquence marginale
Soit E une population sur laquelle on étudie deux caractères simultanément.
En divisant chaque case du tableau croisé d'effectifs par l'effectif total (card(E)), on obtient des fréquences dites fréquences marginales dans les marges.
À la dernière évaluation de mathématiques, les notes de la classe (ensemble noté E) se sont réparties dans ce tableau croisé d'effectifs :
| S (note \geq 10) | I (note <10) | Total | |
| F (filles) | 9 | 4 | 13 |
| G (garçons) | 8 | 3 | 11 |
| Total | 17 | 7 | 24 |
En divisant chaque effectif par l'effectif total, on obtient (en arrondissant les résultats à 10^{-3} si nécessaire :
| S (note \geq 10) | I (note <10) | Total | |
| F (filles) | 0,375 | 0,167 | 0,542 |
| G (garçons) | 0,333 | 0,125 | 0,458 |
| Total | 0,708 | 0,292 | 1 |
Les marges étant la ligne et la colonne "Total", les fréquences marginales sont les fréquences des sous-populations S, I, F et G.
Ici, on a obtenu :
f(S)=\dfrac{\text{Card}(S)}{\text{Card}(E)}\approx 0{,}708
f(I)=\dfrac{\text{Card}(I)}{\text{Card}(E)}\approx 0{,}292
f(F)=\dfrac{\text{Card}(F)}{\text{Card}(E)}\approx 0{,}542
f(G)=\dfrac{\text{Card}(G)}{\text{Card}(E)}\approx 0{,}458
La somme des fréquences marginales d'une marge (ligne "Total" ou colonne "Total") est égale à 1.
Attention en cas d'arrondis, la somme peut-être différente de 1.
Fréquences conditionnelles
Lorsque l'on utilise un tableau croisé d'effectifs, on possède des données.
Mais à partir de ces données, on peut effectuer des calculs permettant une interprétation plus fine de la situation étudiée. C'est le cas notamment lorsque l'on calcule les fréquences conditionnelles.
Soit E une population sur laquelle on étudie deux caractères simultanément.
En divisant chaque case du tableau croisé d'effectifs par l'effectif total de la ligne correspondante, on obtient des fréquences dites fréquences conditionnelles dans les cellules du tableau.
On reprend l'exemple précédent .
À la dernière évaluation de mathématiques, les notes de la classe (ensemble noté E) se sont réparties dans ce tableau croisé d'effectifs :
| S (note \geq 10) | I (note <10) | Total | |
| F (filles) | 9 | 4 | 13 |
| G (garçons) | 8 | 3 | 11 |
| Total | 17 | 7 | 24 |
En divisant chaque effectif par l'effectif total de la ligne correspondante, on obtient (en arrondissant les résultats à 10^{-3} si nécessaire) :
| S (note \geq 10) | I (note <10) | Total | |
| F (filles) | 0,692 | 0,308 | 1 |
| G (garçons) | 0,727 | 0,273 | 1 |
Parmi les filles, la fréquence des filles ayant une note supérieure ou égale à 10 est d'environ 0,692.
On note f_F(S)=\dfrac{\text{Card}(F\cap S)}{\text{Card}(F)}\approx 0{,}692.
On a également obtenu :
f_F(I)=\dfrac{\text{Card}(F\cap I)}{\text{Card}(F)}\approx 0{,}308
f_G(S)=\dfrac{\text{Card}(G\cap S)}{\text{Card}(G)}\approx 0{,}727
f_G(I)=\dfrac{\text{Card}(G\cap I)}{\text{Card}(G)}\approx 0{,}273
En divisant numérateur et dénominateur par \text{Card}(E) du quotient \dfrac{\text{Card}(F\cap I)}{\text{Card}(F)}, on obtient :
\dfrac{\text{Card}(F\cap I)}{\text{Card}(F)}=\dfrac{\frac{\text{Card}(F\cap I)}{\text{Card}(E)}}{\frac{\text{Card}(F)}{\text{Card}(E)}},
donc f_F(I)=\dfrac{f(F\cap I)}{f(F)}.
Probabilité conditionnelle
La notion précédente de fréquence conditionnelle obtenue à partir d'un tableau croisé d'effectifs peut s'étendre à l'étude des phénomènes aléatoires. On parle alors de probabilité conditionnelle.
Définition, notation
Une probabilité conditionnelle correspond à la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement est déjà réalisé. Dans de nombreux cas, cette condition change grandement le résultat de la probabilité cherchée.
Probabilité conditionnelle
Soit A et B deux événements d'un univers \Omega liés à une expérience aléatoire.
Si P(A)\neq 0, on appelle probabilité conditionnelle que B soit réalisé sachant que A est réalisé la probabilité notée P_A(B) telle que :
P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}.
On considère une classe de 30 élèves de 1ère qui comporte 18 filles dont 12 suivent la spécialité LLCE Anglais.
On choisit un élève au hasard dans cette classe.
On note A l'événement "l'élève choisi est une filles" et B l'événement "l'élève choisi suit la spécialité LLCE Anglais".
Le choix de l'élève étant un choix équiprobable, on a :
P(A\cap B)=\dfrac{12}{30}
De plus P(A)=\dfrac{18}{30}.
Comme P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}, on obtient :
P_A(B)=\dfrac{\frac{12}{30}}{\frac{18}{30}}
P_A(B)=\dfrac{12}{18}
P_A(B)=\dfrac{2}{3}.
Calcul à partir d'un tableau croisé d'effectifs
Lorsque l'on possède des données regroupées dans un tableau croisé d'effectifs, on peut calculer des probabilités conditionnelles.
Soit un tableau croisé d'effectifs dans lequel on étudie simultanément deux critères sur une population E amenant à des sous-populations A et B et leurs complémentaires.
On suppose que ces sous-populations sont non vides.
On choisit alors au hasard un individu dans la population et on note A l'événement "l'individu choisi appartient à la sous-population A" et B l'événement "l'individu choisi appartient à la sous-population B".
Alors, on a :
P_A(B)=\dfrac{\text{Card}(A\cap B)}{\text{Card}(A)}.
On reprend l'exemple précédent avec un tableau croisé d'effectifs :
| Avec LLCE Anglais | Sans LLCE Anglais | Total | |
| Filles | 12 | 6 | 18 |
| Garçons | 10 | 2 | 12 |
| Total | 22 | 8 | 30 |
On considère une classe de 30 élèves de 1ère qui comporte 18 filles dont 12 suivent la spécialité LLCE Anglais.
On choisit un élève au hasard dans cette classe.
On note A la sous-population des filles de cette classe et B la sous-population des élèves de cette classe qui suivent la spécialité LLCE Anglais".
On a :
P(A\cap B)=\dfrac{\text{Card}(A\cap B)}{\text{Card}(A)}
On retrouve :
P_A(B)=\dfrac{12}{18}
P_A(B)=\dfrac{2}{3}.
Calcul à partir d'un arbre de probabilités
Lorsque l'on possède un arbre de probabilités correspondant à une expérience aléatoire, on voit apparaître des probabilités conditionnelles et on peut s'en servir pour calculer d'autres probabilités.
Partition de l'univers
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et soit A_1, A_2, ..., A_n des événements d'un univers lié à une expérience aléatoire.
On dit que les événements A_1, A_2, ..., A_n forment une partition de l'univers si ces événements
- sont deux à deux incompatibles
- et leur réunion forme l'univers
On considère l'expérience aléatoire consistant à tirer une carte dans un jeu "classique" de 32 cartes.
On considère les événements suivants :
A = "la carte tirée est un pique"
B = "la carte tirée est un coeur"
C = "la carte tirée est un carreau"
D = "la carte tirée est un trèfle"
Les événements A, B, C et C sont deux à deux incompatibles.
Leur réunion forme l'univers des possibilités.
Ainsi l'ensemble \{A, B, C, D\} forme une partition de l'univers.
Arbre de probabilités
Un arbre de probabilité est un arbre séparant les éventualités en fonction d'un groupe d'événements formant une partition de l'univers.
On indique dans un tel arbre les probabilités des événements sur les branches.
On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note A l'événement "la face obtenu est le 6".
On sait que P(A)=\dfrac{1}{6} et donc P\left(\overline{A}\right)=\dfrac{5}{6}.
On peut donc représenter cette expérience par l'arbre de probabilités suivant :
Soit A et B deux événements d'un univers \Omega liés à une expérience aléatoire.
On considère un arbre de probabilités dont la première partie est séparée en A et \overline{A}.
Alors la probabilité conditionnelle P_A(B) est directement présente dans l'arbre :
On considère l'expérience aléatoire en deux étapes suivante :
On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Si on obtient un 6, on relance le même dé.
Sinon, on lance un dé équilibré à 10 faces dont les faces sont numérotées de 1 à 10.
On note A l'événement "on obtient la face 6 au premier lancer".
On note B l'événement "on obtient la face 6 au deuxième lancer".
On obtient alors l'arbre suivant :
On lit dans l'arbre les probabilités conditionnelles suivantes :
P_{A}\left(B\right)=\dfrac{1}{6}
P_{A}\left(\overline{B}\right)=\dfrac{5}{6}
P_{\overline{A}}\left(B\right)=\dfrac{1}{10}
P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=\dfrac{9}{10}
Dans un arbre de probabilités, on calcule la probabilité d'un événement correspondant à un chemin de l'arbre en multipliant les probabilités des branches de l'arbre constituant le chemin.
On reprend l'exemple précédent.
On considère l'expérience aléatoire en deux étapes suivante :
On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Si on obtient un 6, on relance le même dé.
Sinon, on lance un dé équilibré à 10 faces dont les faces sont numérotées de 1 à 10.
On note A l'événement "on obtient la face 6 au premier lancer".
On note B l'événement "on obtient la face 6 au deuxième lancer".
La probabilité d'obtenir deux fois un "6" est P(A\cap B).
C'est la probabilité du chemin entouré :
On a donc :
P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}.
La probabilité d'obtenir deux fois un "6" est égale à \dfrac{1}{36}.
Le calcul précédent correspond à la formule :
P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B).
Indépendance de deux événements
Les probabilités conditionnelles sont des probabilités dépendant d'une condition. Mais que se passe-t-il si la condition ne change pas la probabilité de l'événement étudié ? On parle alors d'événements indépendants.
Deux événements indépendants
Soit A et B deux événements d'un univers \Omega liés à une expérience aléatoire.
On dit que les deux événements A et B sont indépendants si :
P(A\cap B)=P(A)\times P(B).
Une classe de 1ère de 24 élèves compte 16 filles et 8 garçons.
Parmi les filles, 4 suivent la spécialité LLCE.
Parmi les garçons, 2 suivent la spécialité LLCE.
On choisit un élève au hasard dans la classe.
On note A l'événement "l'élève choisi est une fille" et B l'événement "l'élève choisi suit la spécialité LLCE".
On est dans un cas d'équiprobabilité. Il suffit donc de dénombrer les élèves pour calculer les probabilité.
On obtient :
P(A)=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}
P(B)=\dfrac{4+2}{24}=\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}
P(A\cap B)=\dfrac{4}{24}=\dfrac{1}{6}
Or P(A)\times P(B)=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}.
Ainsi P(A\cap B)=P(A)\times P(B).
Les événements A et B sont indépendants.
Soit A et B deux événements de probabilité non nulle d'un univers \Omega liés à une expérience aléatoire.
Les événements A et B sont indépendants si :
P_A(B)=P(B) ou P_B(A)=P(A).
On reprend l'exemple précédent.
Une classe de 1ère de 24 élèves compte 16 filles et 8 garçons.
Parmi les filles, 4 suivent la spécialité LLCE.
Parmi les garçons, 2 suivent la spécialité LLCE.
On choisit un élève au hasard dans la classe.
On note A l'événement "l'élève choisi est une fille" et B l'événement "l'élève choisi suit la spécialité LLCE".
On est dans un cas d'équiprobabilité. Il suffit donc de dénombrer les élèves pour calculer les probabilité.
On obtient :
P(B)=\dfrac{4+2}{24}=\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}.
Or P_A(B)=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}.
Ainsi P_A(B)=P(B).
On retrouve le fait que les événements A et B sont indépendants.
Succession d'événements indépendants équiprobables ou non
Dans de nombreuses expériences aléatoires, on recontre une succession d'épreuves indépendantes. Une succession d'événements indépendants intervient alors dans le calcul des probabilités.
Succession d'événements indépendants équiprobables
Lorsqu'une succession d'événements indépendants intervient dans le calcul de probabilités, on peut travailler avec des événements équiprobables.
Lors d'une succession d'événements indépendants équiprobables, chaque événement élémentaire (ne contenant qu'une issue) est équiprobable.
Connaissant la probabilité d'un événement élémentaire, on peut alors calculer la probabilité d'un événement quelconque en dénombrant les issues réalisant l'événement.
On considère l'expérience qui consiste à lancer trois fois de suite une pièce équilibrée.
À chaque lancer la probabilité d'obtenir Pile est \dfrac{1}{2}.
On obtient donc l'arbre suivant :
La probabilité de n'importe quel événement élémentaire est donc égale à :
\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}.
L'événement "Obtenir deux fois Pile" est réalisé par les issues (P, P, F), (P, F, P), (F, P, P).
Sa probabilité est donc égale à :
3\times \dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}.
Succession d'événements indépendants non équiprobables
Lorsqu'une succession d'événements indépendants intervient dans le calcul de probabilités, on peut travailler avec des événements non équiprobables.
Lors d'une succession d'événements indépendants non équiprobables, chaque événement élémentaire (ne contenant qu'une issue) n'est pas nécessairement équiprobable.
Pour calculer la probabilité d'un événement quelconque, on doit ajouter les probabilités des événements élémentaires deux à deux distincts dont la réunion correspond à l'événement qui nous intéresse.
On lance trois fois de suite une pièce truquée avec laquelle, on a une chance sur trois d'obtenir "Pile".
On peut représenter la situation par l'arbre de probabilités suivant :
Les événements élémentaires ne sont pas équiprobables.
Par exemple,
la probabilité d'obtenir trois fois "Pile" est égale à \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{27},
mais la probabilité d'obtenir trois fois "Face" est égale à \dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{27}.
L'événement "Obtenir Pile au troisième lancer" est réalisé par les issues (P, P, P), (P, F, P), (F, P, P) et (F, F, P).
Sa probabilité est donc égale à :
\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}.
Situations et problèmes liés
Les situations liées aux phénomènes aléatoires sont très nombreux autour de nous. L'étude de la fiabilité d'un test de dépistage en est un exemple.
On peut utiliser les probabilités conditionnelles pour "mesurer" la fiabilité d'un test de dépistage d'une maladie.
On fait passer un test de dépistage d'une maladie à un groupe de personne.
On choisit une personne au hasard dans ce groupe.
On note M l'événement "la personne est malade" et T l'événement "le test est positif".
Une des valeurs intéressantes pour tester la fiabilité d'un test est la "sensibilité" qui correspond à la probabilité P_M(T), probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade.
Une autre valeur intéressante pour tester la fiabilité d'un test est la "spécificité" qui correspond à la probabilité P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right), probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n'est pas malade.