Les intersections dans l'espace
L'intersection de deux droites
Soient D et D' deux droites de l'espace.
Si les droites D et D' ne sont pas coplanaires, leur intersection est vide.
Si les droites de l'espace D et D' sont coplanaires et strictement parallèles (parallèles et distinctes), leur intersection est vide.
Si les droites D et D' sont coplanaires et confondues, leur intersection est la droite D.
Si les droites D et D' sont coplanaires et non parallèles, leur intersection est un point.
L'intersection d'une droite et d'un plan
Soient D et P une droite et un plan de l'espace.
Si la droite D est strictement parallèle au plan P, c'est-à-dire qu'elle est parallèle au plan P et qu'elle n'est pas dans le plan P, l'intersection de la droite D et du plan P est vide.
Si la droite D est contenue dans le plan P, l'intersection de la droite D et du plan P est la droite D.
Si la droite D n'est pas parallèle au plan P, l'intersection de la droite D et du plan P est un point.
L'intersection de deux plans
Soient P et P' deux plans de l'espace.
Si les plans P et P' sont strictement parallèles (parallèles et non confondus), l'intersection des plans P et P' est vide.
Si les plans P et P' sont confondus, l'intersection des plans P et P' est le plan P.
Si les plans P et P' ne sont pas parallèles, l'intersection des plans P et P' est une droite.
Si deux plans distincts ont un point en commun, leur intersection est alors une droite.
L'intersection de trois plans
Soient P, P' et P'' trois plans de l'espace.
L'intersection des plans P, P' et P'' peut être vide.
L'intersection des plans P, P' et P'' peut être un plan (les trois plans sont alors confondus).
L'intersection des plans P, P' et P'' peut être une droite.
L'intersection des plans P, P' et P'' peut être un point.
Le parallélisme
- Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles entre elles.
- Si une droite est parallèle à une seconde, alors elle est parallèle à tous les plans contenant cette seconde droite.
- Si une droite est parallèle à deux plans sécants, elle est parallèle à leur droite d'intersection.
- Si deux droites sécantes d'un plan sont parallèles à deux droites sécantes d'un second plan, les deux plans sont alors parallèles.
- Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles entre eux.
Deux droites peuvent n'avoir aucun point en commun et ne pas être parallèles.
Théorème du toit
Soient deux plans P et P' ayant pour intersection la droite \Delta . Si d appartenant à P et d' appartenant à P' sont parallèles, alors ces deux droites sont également parallèles à \Delta .
L'orthogonalité dans l'espace
L'orthogonalité de droites
Droites orthogonales
Deux droites sont orthogonales s'il existe une parallèle à la première qui est perpendiculaire à la seconde.
L'orthogonalité d'une droite et d'un plan
Droite orthogonale à un plan
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
- Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
- Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une est alors orthogonal à l'autre.
- Si deux droites sont orthogonales à un même plan, elles sont alors parallèles.
- Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
- Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, ils sont alors parallèles.
Le plan médiateur
Plan médiateur
On appelle plan médiateur d'un segment le plan orthogonal à ce segment qui passe par son milieu.
Le plan médiateur d'un segment est formé de l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
La géométrie vectorielle dans l'espace
Les vecteurs de l'espace
Vecteur de l'espace
Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une longueur.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace et k un réel quelconque. On définit k\overrightarrow{u} et \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} comme dans le plan.
Comme dans le plan, la relation de Chasles est valide dans l'espace.
Plan
Un plan est caractérisé, au choix, par :
- Trois points non alignés
- Un point et deux vecteurs non colinéaires
- Deux droites sécantes
- une droite et un point n'appartenant pas à cette droite
Vecteurs coplanaires
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non colinéaires de l'espace. Soit \overrightarrow{w} un autre vecteur de l'espace. Les vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont dits coplanaires s'il existe des représentants de ces trois vecteurs appartenant à un même plan.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non colinéaires de l'espace. Soit \overrightarrow{w} un autre vecteur de l'espace. Les vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels a et b tels que :
\overrightarrow{w} = a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}
Si \overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}-5\overrightarrow{v} alors les vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont coplanaires.
Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs de l'espace sont dits orthogonaux s'ils admettent des directions orthogonales.
Le repérage dans l'espace
Coordonnées d'un point de l'espace
Si \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} et \overrightarrow{k} sont trois vecteurs non coplanaires et O un point de l'espace, on peut alors définir le repère de l'espace (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k}).
Dans ce repère, tout point M est identifié par un unique triplet de réels \left(x ; y ; z\right) tel que :
\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}
Le triplet \left(x ; y ; z\right) est appelé coordonnées du point M, et on note :
M \text{ } \left(x ; y ; z\right)
On appelle x l'abscisse, y l'ordonnée et z la cote du point M.
Le point A\left(3;-1;8\right) a pour abscisse 3, ordonnée -1 et cote 8.
Repères
- Un repère \left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right) est dit orthogonal si les vecteurs \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} et \overrightarrow{k} sont deux à deux orthogonaux.
- Un repère \left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right) est dit orthonormal ou orthonormé si de plus les vecteurs \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} et \overrightarrow{k} ont même norme.
Coordonnées du milieu d'un segment
Soient A et B deux points de coordonnées respectives \left( x_A;y_A;z_A \right) et \left( x_B;y_B;z_B \right) dans un repère de l'espace. Le milieu I de \left[AB\right] a pour coordonnées :
I \text{ } \left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\dfrac{y_A + y_B}{2} ; \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)
Soient A\left(2;1;1\right) et B\left(-2;4;-1\right). Soit I le milieu du segment \left[AB\right]. Les coordonnées de I sont :
I\left( \dfrac{2-2}{2};\dfrac{1+4}{2};\dfrac{1-1}{2} \right) soit I\left(0;\dfrac52;0\right).
Distance
Soient A et B deux points de coordonnées respectives \left( x_A;y_A;z_A \right) et \left( x_B;y_B;z_B \right) dans un repère orthonormal de l'espace. La distance AB est égale à :
AB =\sqrt{\left(x_{B} - x_{A}\right)^{2} + \left(y_{B} - y_{A}\right)^{2} + \left(z_{B} - z_{A}\right)^{2}}
Soient A\left(2;1;1\right) et B\left(-2;4;-1\right).
AB=\sqrt{\left(-2-2\right)^2+\left(4-1\right)^2+\left(-1-1\right)^2}=\sqrt{16+9+4}=\sqrt{29}
Systèmes d'équations paramétriques d'une droite
Système d'équations paramétriques d'une droite
Soient A \left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right) un point de l'espace et \overrightarrow{u} \left(a ; b ; c\right) un vecteur non nul.
La droite \Delta passant par A et de vecteur directeur \overrightarrow{u} est l'ensemble des points de l'espace de coordonnées \left(x ; y ; z\right) vérifiant le système d'équations paramétrique suivant :
\begin{cases}x = x_{0} + ka \cr \cr y = y_{0} + kb \cr \cr z = z_{0} + kc\end{cases}, k\in\mathbb{R}
Soit \Delta une droite passant par le point A\left(-1;2;-3\right) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}\left(4;-5;7\right).
Un système d'équations paramétriques de \Delta est :
\begin{cases} x=-1+4k \cr\cr y=2-5k \cr \cr z=-3+7k \end{cases} avec k\in\mathbb{R}.
Systèmes d'équations paramétriques d'un plan
Système d'équations paramétriques d'un plan
Soient A \left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right) un point de l'espace et \overrightarrow{u} \left(a ; b ; c\right), \overrightarrow{v} \left(a' ; b' ; c'\right) deux vecteurs non colinéaires.
Le plan P passant par A et de vecteurs directeurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} est l'ensemble des points de l'espace de coordonnées \left(x ; y ; z\right) vérifiant le système d'équations paramétriques suivant :
\begin{cases}x = x_{0} + ka + k'a' \cr \cr y = y_{0} + kb + k'b' \cr \cr z = z_{0} + kc + k'c'\end{cases}, avec k\in\mathbb{R} et k'\in\mathbb{R}
Soit P un plan passant par le point A\left(-1;2;-3\right), de vecteurs directeurs \overrightarrow{u}\left(4;-5;7\right) et \overrightarrow{v}\left(2;-1;8\right). \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.
Un système d'équations paramétriques de P est :
\begin{cases} x=-1+4k+2k' \cr\cr y=2-5k-k' \cr \cr z=-3+7k+8k' \end{cases} avec k\in\mathbb{R} et k'\in\mathbb{R}.
Le produit scalaire dans l'espace
Caractérisation
Produit scalaire
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls de l'espace et soit A un point de l'espace. Il existe alors un plan P qui contient les points A, B et C tels que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}.
Le produit scalaire \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} est alors égal au produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} dans le plan P.
L'expression analytique
Expression analytique du produit scalaire
Soit un repère orthonormal de l'espace \left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k}\right).
Le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} \left(x ; y ; z\right) et \overrightarrow{v} \left(x' ; y' ; z'\right) est égal à :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz'
Soient \overrightarrow{u}\left(-1;2;-5\right) et \overrightarrow{v}\left(1;7;-6\right) deux vecteurs de l'espace muni d'un repère orthonormal.
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-1\times1+2\times7+\left(-5\right)\times\left(-6\right)=-1+14+30=43
Équations cartésiennes d'un plan
Vecteur normal à un plan
Un vecteur non nul \overrightarrow{n} est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.
Equation cartésienne d'un plan
Soit \overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a \cr b \cr c \end{pmatrix} un vecteur non nul.
Une équation cartésienne d'un plan P admettant \overrightarrow{n} pour vecteur normal est :
ax + by + cz + d = 0, où d\in\mathbb{R}
Réciproquement, un plan P de l'espace admet une équation cartésienne de la forme :
ax + by + cz + d = 0
et le vecteur \overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a \cr b \cr c \end{pmatrix} est alors normal à P.
Un vecteur normal du plan P d'équation cartésienne 4x-2y+z+11=0 est le vecteur \overrightarrow{n}\left(4;-2;1\right).
Équations cartésiennes d'une sphère
Equation cartésienne d'une sphère
Dans un repère orthonormal, une équation cartésienne de la sphère de centre I \left(a;b;c\right) et de rayon R est :
\left(x-a\right)^2 + \left(y-b\right)^2 + \left(z-c\right)^2 = R^2
Soit une sphère S de centre I\left(4;-2;3\right) et de rayon 10. Une équation cartésienne de S est :
\left(x-4\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2=100