Sommaire
Méthode 1En utilisant la formule du cours 1Déterminer un point et un vecteur normal du plan 2Déterminer a, b et c 3Déterminer d en utilisant les coordonnées du point 4ConclureMéthode 2En redémontrant la formule 1Déterminer un point et un vecteur normal du plan 2Écrire la condition d'appartenance d'un point M au plan P 3Déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{AM} 4Expliciter et simplifier la condition d'appartenance du point M au plan P 5ConclureEn utilisant la formule du cours
On peut déterminer une équation cartésienne d'un plan P à partir d'un point du plan et d'un vecteur normal au plan.
Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point A\left(2;1;1\right) et admettant pour vecteur normal le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.
Déterminer un point et un vecteur normal du plan
On détermine les coordonnées d'un point A du plan et d'un vecteur normal au plan noté \overrightarrow{n} :
- Soit l'énoncé donne directement le point A et un vecteur normal \overrightarrow{n}.
- Soit l'énoncé donne le point A et précise que le plan doit être perpendiculaire à une droite \left(d\right) dont la représentation paramétrique est donnée. Dans ce cas, on choisit un vecteur directeur de \left(d\right) comme vecteur normal \overrightarrow{n}.
L'énoncé fournit directement :
- Un point A de P : A\left(2;1;1\right)
- Un vecteur normal à P : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
Déterminer a, b et c
Si \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \cr\cr c \end{pmatrix} est normal à P, P admet une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 où d est un réel à déterminer.
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix} est normal à P, donc P admet une équation cartésienne de la forme x+3y-z+d=0.
Déterminer d en utilisant les coordonnées du point
On utilise les coordonnées du point A pour déterminer d. Comme A est un point du plan, d est obtenu en résolvant l'équation suivante d'inconnue d :
ax_A+by_A+cz_A+d=0
Le point A\left(2;1;1\right) est un élément du plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation de P. On a donc :
2+3\times1-1+d=0
Soit finalement :
d=-4
Conclure
On peut donc conclure que ax+by+cz+d=0 est une équation cartésienne du plan P.
Une équation cartésienne de P est donc x+3y-z-4=0.
En redémontrant la formule
On peut déterminer une équation cartésienne d'un plan P à partir d'un point du plan et d'un vecteur normal au plan en réutilisant la démarche de la démonstration vue en cours.
Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point A\left(2;1;1\right) et admettant pour vecteur normal le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.
Déterminer un point et un vecteur normal du plan
On détermine les coordonnées d'un point A du plan et d'un vecteur normal au plan noté \overrightarrow{n} :
- Soit l'énoncé donne directement le point A et un vecteur normal \overrightarrow{n}.
- Soit l'énoncé donne le point A et précise que le plan doit être perpendiculaire à une droite \left(d\right) dont la représentation paramétrique est donnée. Dans ce cas, on choisit un vecteur directeur de \left(d\right) comme vecteur normal \overrightarrow{n}.
L'énoncé nous fournit directement :
- Un point A de P : A\left(2;1;1\right)
- Un vecteur normal à P : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
Écrire la condition d'appartenance d'un point M au plan P
Un point M\left(x;y;z\right) est un élément de P si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{n} sont orthogonaux, donc si et seulement si \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0.
Un point M\left(x;y;z\right) est un élément de P si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{n} sont orthogonaux, donc si et seulement si \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0.
Déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{AM}
Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{n} sont notées \begin{pmatrix} a \cr\cr b \cr\cr c \end{pmatrix}. Elles sont données par l'énoncé.
En notant respectivement A\begin{pmatrix} x_A & y_A & z_A \end{pmatrix} et M\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}, on obtient :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-x_A \cr\cr y-y_A \cr\cr z-z_A \end{pmatrix}
D'après l'énoncé, on a \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix} et A\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
En notant M\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}, on obtient :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-2 \cr\cr y-1 \cr\cr z-1 \end{pmatrix}
Expliciter et simplifier la condition d'appartenance du point M au plan P
On peut donc maintenant expliciter et simplifier la condition d'appartenance trouvée en étape 2. Cette dernière devient :
a\left(x-x_A\right)+b\left(y-y_A\right)+c\left(z-z_A\right)=0
Soit finalement :
ax+by+cz-ax_A-by_A-cz_A=0
On a donc :
\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow \left(x-2\right)+3 \left(y-1\right)- \left(z-1\right)=0
\Leftrightarrow x+3y-z-2-3+1=0
\Leftrightarrow x+3y-z-4=0
Conclure
On peut donc finalement conclure qu'une équation cartésienne du plan P est l'équation suivante :
ax+by+cz-ax_A-by_A-cz_A=0
Une équation cartésienne du plan P est donc l'équation suivante :
x+3y-z-4=0