Sommaire
1Rappeler la représentation paramétrique de la droite 2Remplacer les coordonnées du point 3Résoudre le système et conclureUn point A appartient à une droite D dont on connaît une représentation paramétrique si et seulement s'il existe un unique réel t tel que les coordonnées de A vérifient le système.
On considère la droite D dont on donne une représentation paramétrique :
\begin{cases} x=2+t \cr \cr y=-1+t \cr \cr z=3+2t \end{cases}, t\in \mathbb{R}
Déterminer si le point A\left(4;1;7\right) appartient à la droite D.
Rappeler la représentation paramétrique de la droite
On rappelle la représentation paramétrique de la droite donnée dans l'énoncé.
D'après l'énoncé, on a :
\begin{cases} x=2+t \cr \cr y=-1+t \cr \cr z=3+2t \end{cases}, t\in \mathbb{R}
Remplacer les coordonnées du point
On remplace les coordonnées du point A dans la représentation paramétrique.
On a A\left(4;1;7\right). On remplace ses coordonnées dans la représentation paramétrique de D.
A appartient à la droite D si et seulement s'il existe un réel t tel que :
\begin{cases} 4=2+t \cr \cr 1=-1+t \cr \cr 7=3+2t \end{cases}
Résoudre le système et conclure
On résout le système.
Deux cas se présentent alors :
- Le système est impossible (on obtient plusieurs valeurs différentes de t). Dans ce cas, le point A n'appartient pas à la droite D.
- On obtient une solution t_0. Dans ce cas, le point A appartient à la droite D.
On résout le système :
\begin{cases} 4=2+t \cr \cr 1=-1+t \cr \cr 7=3+2t \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} t=2\cr \cr t=2\cr \cr2t = 4 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} t=2\cr \cr t=2\cr \cr t = 2 \end{cases}
On en déduit que le point A appartient à la droite D.