Sommaire
1Rappeler le cours 2En déduire une condition sur la colinéarité 3Donner les coordonnées des vecteurs 4ConclureTrois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.
Soient les points A\left(1;-2;0\right), B\left(3;4;0\right) et C\left(3;1;5\right).
Déterminer si les points A, B et C définissent un plan.
Rappeler le cours
On rappelle que trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.
Les trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.
En déduire une condition sur la colinéarité
On en déduit que les points A, B et C définissent un plan si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
Ainsi, les points A, B et C définissent un plan si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
Donner les coordonnées des vecteurs
On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} :
- \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3-1\cr\cr 4-\left(-2\right)\cr\cr 0-0\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2\cr\cr 6\cr\cr 0\end{pmatrix}
- \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3-1\cr\cr 1-\left(-2\right)\cr\cr 5-0\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2\cr\cr 3\cr\cr 5\end{pmatrix}
Conclure
Si les coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas proportionnelles, les points A, B et C définissent un plan.
Les coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
On conclut que les points A, B et C définissent un plan.