Les aires et les unités d'aire
L'aire d'une figure est la place qu'elle occupe, son unité est le mètre carré.
L'aire d'une figure
L'aire d'une figure permet de mesurer la place qu'elle occupe. Elle dépend de l'unité d'aire choisie.
Aire d'une figure
L'aire d'une figure est la mesure de sa surface, dans une unité d'aire donnée.
On prend pour unité d'aire l'aire du carré bleu. On peut alors calculer l'aire de la surface bleue : elle est de 13 unités d'aire.
Il ne faut pas confondre aire et périmètre. Certaines figures ont le même périmètre mais des aires différentes, et inversement.
Le périmètre de chaque figure est la longueur de son contour, alors que l'aire d'une figure est la mesure de sa surface.
En considérant le carreau comme unité de longueur, la figure 1 a un périmètre égal à 10 alors que pour la figure 2, le périmètre vaut environ 10,5 carreaux.
En choisissant le carreau comme unité d'aire, l'aire est la même pour chaque figure : 4 carreaux.
En considérant le carreau comme unité de longueur, les deux figures ci-dessus ont un périmètre de 12 carreaux.
En choisissant le carreau comme unité d'aire, l'aire de la figure 1 est égale à 7 carreaux et l'aire de la figure 2 est égale à 9 carreaux.
On peut parfois comparer les aires de deux figures en les superposant.
On considère les deux figures ci-dessous. L'aire de la figure 1 semble inférieure à celle de la figure 2.
En superposant les deux figures, on obtient, par exemple, la situation suivante :
Cela confirme la première idée : l'aire de la figure 1 est bien inférieure à celle de la figure 2.
On peut parfois comparer les aires de deux figures en découpant puis en recollant au moins une des deux figures.
On cherche à comparer les aires des deux figures géométriques suivantes :
On peut découper la figure 1 selon les pointillés ci-dessous :
On obtient alors la figure ci-dessous en recollant le morceau découpé de la façon suivante :
En choisissant le carreau comme unité d'aire, on se rend compte que les deux figures ont la même aire : 12 unités d'aire.
Les unités permettant d'exprimer les aires
Comme pour la mesure d'une longueur ou d'une masse, les mesures d'aire dépendent d'une unité de référence. Il s'agit du mètre carré. On utilise également les multiples et sous-multiples du mètre carré.
L'aire se mesure en général en mètres carrés (m2). Un mètre carré correspond à l'aire d'un carré d'un mètre de côté.
Suivant les cas, on utilise les unités multiples (ou sous-multiples) du mètre carré :
- Le kilomètre carré (km2) est égal à 1 000 000 mètres carrés.
- L'hectomètre carré (hm2) est égal à 10 000 mètres carrés.
- Le décamètre carré (dam2) est égal à 100 mètres carrés.
- Le décimètre carré (dm2) est égal à 0,01 mètre carré.
- Le centimètre carré (cm2) est égal à 0,0001 mètre carré.
- Le millimètre carré (mm2) est égal à 0,000001 mètre carré.
- 5 \text{ dam}^2 = 500 \text{ m}^2
- 7 \text{ cm}^2 = 0{,}0007 \text{ m}^2
Les conversions entre les différents multiples du mètre carré se font à l'aide d'un tableau de conversion :
| km2 | hm2 | dam2 | m2 | dm2 | cm2 | mm2 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
-
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 0, 0 0 0 1 4 5 145 \text{ m}^2 = 0{,}000145 \text{ km}^2
-
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 2 5 0 0 1 0 0 0 0 25\ 001 \text{ m}^2 = 250\ 010\ 000 \text{ cm}^2
Les aires des figures usuelles
Les mathématiciens ont établi des formules permettant de calculer l'aire de certaines figures comme le carré, le rectangle, le triangle ou encore le disque.
L'aire d'un carré
L'aire d'un carré est en relation directe avec la longueur d'un côté.
L'aire d'un carré de côté c est égale à :
\mathcal{A} = c\times c
L'aire de ce carré est égale à :
5 \times 5 = 25 \text{ cm}^2
L'aire d'un rectangle
L'aire d'un rectangle est en relation directe avec sa longueur et sa largeur.
L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur \ell est égale à :
\mathcal{A} = L \times \ell
L'aire de ce rectangle est égale à :
5 \times 3 = 15 \text{ cm}^2
L'aire d'un triangle
L'aire d'un triangle est en relation directe avec la longueur d'un de ses côtés et la distance entre ce côté et le sommet opposé. Cette distance est appelée « hauteur ».
Hauteur
Dans un triangle ABC, on appelle hauteur issue du sommet A la droite passant par A et perpendiculaire à la droite \left( BC \right). On parle également de la hauteur relative au côté \left[ BC\right].
La droite \left( AH \right) est la hauteur du triangle ABC issue du sommet A.
La droite \left( AH \right) est la hauteur du triangle ABC issue du sommet A.
Pied de la hauteur
Dans le triangle ABC, on appelle pied de la hauteur issue de A le point H, intersection de la hauteur issue de A et de la droite \left( BC\right).
L'aire d'un triangle dont un des côtés (appelé « base ») a pour longueur b et pour hauteur correspondante h est égale à :
A=\dfrac{b\times h}{2}
Dans le triangle ci-dessus, si l'on choisit \left[ BC \right] comme base, alors la hauteur correspondante est \left[ AH \right]. L'aire du triangle ABC vaut donc :
A=\dfrac{BC\times AH}{2}
A=\dfrac{8\times 3}{2}
A=12 \text{ cm}^2
Dans le cas d'un triangle rectangle, la hauteur relative à un côté de l'angle droit est l'autre côté de l'angle droit.
L'aire de ce triangle rectangle est égale à :
\left(3 \times 5\right) \div 2 = 15 \div 2 = 7{,}5 \text{ cm}^2
L'aire d'un disque
L'aire d'un disque est en relation directe avec son rayon, et le célèbre nombre \pi.
L'aire d'un disque de rayon r est égale à :
\mathcal{A} = r \times r \times \pi
L'aire de ce disque est égale à :
3 \times 3 \times \pi = 9 \times \pi \text{ cm}^2
Comme le diamètre du cercle est le double du rayon, l'aire d'un disque de rayon r (et de diamètre D) est donc :
\mathcal{A}=D\times D\times \pi\div 4
L'unité de longueur étant le carreau et l'unité d'aire le carreau, le disque de diamètre D=8 \text{ unités de longueur} a pour aire :
\mathcal{A}=8\times 8\times \pi\div 4 \text{ unités d'aire}
\mathcal{A}=64\times \pi\div 4
\mathcal{A}=16 \pi \text{ unités d'aire}