Définition d'une expression littérale
Une expression littérale est une expression comprenant à la fois des valeurs numériques et une ou plusieurs lettres. L'usage d'une lettre permet d'exprimer un résultat général.
Expression littérale
Une expression littérale est une séquence de calculs comprenant à la fois des valeurs numériques et une ou plusieurs lettres.
Ces lettres représentent des nombres qu'on ne connaît pas nécessairement.
2\times x + 31{,}7 - 11\times a est une expression littérale comportant deux nombres inconnus : x et a.
L'usage d'une lettre permet d'exprimer un résultat général.
Les nombres pairs sont les entiers multiples du nombre 2.
Si n est un nombre pair, il existe un entier m tel que n=2\times m.
Les parenthèses et l'omission du signe \times
L'usage des parenthèses dans les calculs mathématiques permet d'indiquer un calcul prioritaire. Par ailleurs, pour éviter que les expressions littérales n'aient une écriture trop lourde, on peut omettre le signe \times lorsqu'il se situe entre deux lettres ou entre un chiffre et une lettre.
Les parenthèses servent à indiquer qu'un calcul est prioritaire : il doit donc être effectué en premier.
- 3\times \underbrace{(2+5)}_{7}=3\times 7=21
- 2-5\times \underbrace{(4-3)}_{1}=2-5\times 1=2-5=-3
Lorsque l'on rencontre un signe \times entre un nombre et une lettre ou entre deux lettres, on peut l'omettre, c'est-à-dire ne pas l'écrire. Lorsqu'on omet le signe \times entre un nombre et une lettre, on écrit le nombre avant la lettre.
- Au lieu d'écrire 4\times a, on peut écrire 4a.
- Au lieu d'écrire a\times b, on peut écrire ab.
La propriété précédente permet d'alléger les expressions littérales.
La multiplication est la seule opération que l'on peut omettre.
On ne remplace pas 2+a par 2a.
On n'omet pas le signe \times entre deux nombres connus.
On ne remplace pas 2+3 par 23.
La simple distributivité
On considère trois nombres quelconques a, b et c, et les calculs a\times(b+c) et a\times(b-c).
La simple distributivité consiste à distribuer le nombre a sur les termes de la parenthèse. Elle peut être distributive par rapport à l'addition ou bien par rapport à la soustraction. Elle permet parfois de simplifier une expression littérale.
Simple distributivité
On considère trois nombres quelconques a, b et c, et les calculs a\times(b+c) et a\times(b-c).
On parle de simple distributivité lorsqu'on distribue a sur les termes contenus dans la parenthèse, soit a et b.
La multiplication peut être distributive par rapport à l'addition a\times (b+c)=a\times b+a\times c, ou bien par rapport à la soustraction a\times (b-c)=a\times b-a\times c.
- 3\times(4+3)=(3\times4)+(3\times3)=12+9=21
- 3\times(4-3)=(3\times4)-(3\times3)=12-9=3
Soient trois nombres quelconques a, b et c. On a :
a\times (b + c) = a\times b+a\times c
12\times15=12\times(10+5)=(12\times10)+(12\times5)=120+60=180
Soient trois nombres quelconques a, b et c. On a :
a\times (b-c)=a\times b-a\times c
12\times 27=12\times (30-3)=(12\times30)-(12\times3)=360-36=324
Soient trois nombres quelconques a, b et c. On a :
a\times b+a\times c=a\times (b+c)
12\times 7+12\times 3=12\times (7+3)=12\times 10=120
Soient trois nombres quelconques a, b et c. On a :
a\times b-a\times c=a\times (b-c)
12\times 23-12\times 3=12\times (23-3)=12\times 20=240
Les propriétés précédentes sont en fait la simple distributivité écrite dans l'autre sens, c'est-à-dire en échangeant les membres de l'égalité. Elle permet de regrouper des calculs.
Simplifier une expression littérale
Simplifier une expression littérale consiste à regrouper toutes les valeurs numériques ensemble, ainsi que tous les termes contenant des lettres identiques ensemble.
45a -12 + 9 - 8a = \underbrace{\left(45\times a - 8\times a\right)}_{(45-8)\times a} \underbrace{+ \ 9 - 12}_{-3} = 37\times a-3=37a-3
Calculer une expression littérale pour une valeur donnée
Il est fréquent de remplacer par un nombre la valeur inconnue d'une expression littérale. On effectue alors le calcul pour cette valeur.
Calculer une expression littérale pour une valeur donnée
Calculer une expression littérale pour une valeur donnée consiste à remplacer la lettre de l'expression littérale par ce nombre et effectuer le calcul numérique.
On souhaite calculer 45a -12 + 9 - 8a pour a = 1.
On remplace les a du calcul par le chiffre 1 :
45 \times 1 -12 + 9 - 8\times 1 = 45 - 12 + 9 - 8 = 34
Dans l'exemple précédent, il aurait aussi été possible (et plus rapide) de remplacer a par 1 dans la forme simplifiée de l'expression littérale 37a-3.
37a-3= 37\times1-3= 37-3=34
Tester une égalité
On peut tester l'égalité de deux expressions littérales pour certaines valeurs inconnues. On remplace la lettre par la valeur à tester et on compare les deux résultats. L'utilisation d'un tableur peut s'avérer utile quand plusieurs valeurs sont à tester.
Tester une égalité
Tester une égalité entre deux expressions littérales pour certaines valeurs des inconnues consiste à :
- remplacer les lettres par les valeurs à tester ;
- vérifier que les expressions littérales donnent le même résultat.
Tester l'égalité 2x+3=7-2x pour x = 1 consiste à :
- remplacer x par 1 dans l'expression 2x + 3 et effectuer le calcul ;
- remplacer x par 1 dans l'expression 7 - 2x et effectuer le calcul ;
- vérifier que les deux résultats précédents sont égaux.
Ici :
- Pour x = 1 : on obtient 2x+3=2\times 1+3=2+3=5.
- Pour x = 1 : on obtient 7-2x = 7-2\times 1=7-2=5.
- Les expressions sont bien égales pour x=1.
On a vérifié l'égalité des deux expressions pour x=1.
Il peut être demandé d'effectuer des essais pour obtenir une valeur donnant l'égalité de deux expressions littérales en utilisant un tableur. En effet, l'utilisation d'un tableur permet de tester rapidement plusieurs valeurs.
On demande de tester l'égalité 4a+7=67-2a pour plusieurs valeurs entières de a avec un tableur.
On observe que la valeur a=10 donne l'égalité 4a+7=67-2a.