Les séries statistiques
Une série statistique est la suite des valeurs que prend un caractère au sein d'une population. On étudie ce caractère par le biais des différentes valeurs qu'il peut prendre. En fonction du caractère et de ces valeurs, la série statistique peut prendre plusieurs noms.
Le caractère étudié et les valeurs : la définition d'une série statistique
La population est l'ensemble des individus sur lequel on effectue une étude statistique. Le caractère représente la caractéristique de la population que l'on choisit d'étudier ; il peut prendre plusieurs valeurs. La série statistique peut être quantitative ou qualitative. On parle aussi de série statistique discrète quand les différentes valeurs du caractère étudié sont isolées les unes des autres.
Population
La population est l'ensemble des individus sur lequel on effectue une étude statistique.
L'ensemble des garçons d'une classe et l'ensemble des produits fabriqués par une usine sont des populations.
Caractère
Le caractère représente une des caractéristiques de la population que l'on étudie. Il peut prendre plusieurs valeurs (chiffrées ou non).
Dans l'ensemble des garçons de la classe, on peut s'intéresser au sport choisi. Plusieurs valeurs sont possibles : foot, basket, tennis, volley.
Série statistique
Une série statistique est la suite des valeurs que prend un caractère au sein d'une population.
Voici le sport choisi par les douze garçons d'une classe qui avaient le choix entre le foot, le basket, le tennis et le volley :
« tennis ; tennis ; basket ; foot ; basket ; foot ; volley ; foot ; foot ; tennis ; basket ; volley ».
Il s'agit de la série statistique décrivant la valeur du caractère « le sport choisi » au sein de la population « les garçons de la classe ».
Série quantitative
On dit qu'une série statistique est une série quantitative lorsque le caractère étudié prend des valeurs numériques.
La série des tailles des élèves d'une classe de 5e est une série quantitative car le caractère étudié (la taille) prend des valeurs numériques.
Lorsqu'une série statistique n'est pas quantitative, on dit qu'elle est qualitative.
Les valeurs du caractère ne sont pas numériques, on ne pourra donc pas effectuer de calculs à partir de ces valeurs.
La série statistique décrivant la valeur du caractère « le sport choisi » au sein de la population « les garçons de la classe » n'est pas une série quantitative.
Série statistique discrète
Une série statistique discrète est une série statistique dans laquelle les différentes valeurs du caractère étudié sont isolées les unes des autres.
Dans l'exemple précédent, le caractère étudié est « le sport choisi » et les différentes valeurs possibles du caractère sont isolées les unes des autres.
Il y a quatre valeurs possibles qui sont « le foot, le basket, le tennis et le volley ».
On présente souvent les résultats d'une étude statistique sous forme de tableau. La première ligne recense les différentes valeurs de la série et la seconde ligne affiche l'effectif correspondant à chaque valeur.
La série statistique décrivant la valeur du caractère « le sport choisi » au sein de la population « les garçons de la classe » peut être représentée par le tableau suivant :
| Sport choisi | Foot | Basket | Tennis | Volley |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de garçons | 4 | 3 | 3 | 2 |
Les effectifs
Le caractère étudié peut avoir plusieurs valeurs, dont les nombres d'apparition sont les effectifs. On distingue effectif total et effectif cumulé croissant : l'effectif total est la somme des effectifs d'une série statistique ; l'effectif cumulé croissant d'une valeur de la série est le nombre de valeurs inférieures ou égales à la valeur considérée.
Effectif
L'effectif d'une valeur d'une série statistique est le nombre d'apparitions de cette valeur dans la série.
On considère la série statistique : « tennis ; tennis ; basket ; foot ; basket ; foot ; volley ; foot ; foot ; tennis ; basket ; volley ».
Dans cette série, la valeur « foot » a pour effectif 4 car elle apparaît 4 fois.
Effectif total
La somme des effectifs d'une série statistique est égale à l'effectif total.
On considère la série statistique : « tennis ; tennis ; basket ; foot ; basket ; foot ; volley ; foot ; foot ; tennis ; basket ; volley ».
| Sport choisi | Foot | Basket | Tennis | Volley |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de garçons | 4 | 3 | 3 | 2 |
L'effectif total, qui correspond au nombre de garçons de la classe, est égal à :
4 + 3 + 3 + 2 = 12
Effectif cumulé croissant
On considère une série statistique quantitative.
On appelle « effectif cumulé croissant » d'une valeur de la série le nombre de valeurs inférieures ou égales à la valeur considérée.
Le tableau statistique suivant donne la répartition des notes dans une classe :
| Notes | 8 | 11 | 13 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| Effectifs | 8 | 13 | 14 | 3 |
| Effectifs cumulés croissants | 8 | 21 | 35 | 38 |
On peut calculer les effectifs cumulés croissants :
- La valeur 8 a un effectif cumulé croissant de 8 car il y a 8 valeurs inférieures ou égales à 8 (uniquement les valeurs égales à 8).
- La valeur 11 a un effectif cumulé croissant de 21 car il y a 21 valeurs inférieures ou égales à 11 (les valeurs égales à 8 et celles égales à 11).
- La valeur 13 a un effectif cumulé croissant de 35 car il y a 35 valeurs inférieures ou égales à 13 (les valeurs égales à 8, celles égales à 11 et celles égales à 13).
- La valeur 16 a un effectif cumulé croissant de 38 car il y a 38 valeurs inférieures ou égales à 16 (toutes les valeurs sont inférieures ou égales à 16).
Déterminer les effectifs cumulés croissants d'une série revient à cumuler au fur et à mesure les effectifs des valeurs.
On reprend tableau statistique suivant qui donne la répartition des notes dans une classe :
| Notes | 8 | 11 | 13 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| Effectifs | 8 | 13 | 14 | 3 |
| Effectifs cumulés croissants | 8 | 21 | 35 | 38 |
Pour calculer les effectifs cumulés croissants de cette série, on procède à un cumul :
- L'effectif cumulé croissant de la valeur 8 est 8.
- L'effectif cumulé croissant de la valeur 11 est 8+13, soit 21.
- L'effectif cumulé croissant de la valeur 13 est 8+13+14, soit 21+14, c'est-à-dire 35.
- L'effectif cumulé croissant de la valeur 16 est 8+13+14+3, soit 35+3, c'est-à-dire 38.
Les valeurs données en classes
Lorsque les valeurs possibles sont trop nombreuses, elles sont regroupées par intervalles, que l'on appelle « classes ». On parle de série statistique continue.
Dans certaines séries statistiques dont le caractère étudié prend des valeurs numériques, on peut regrouper les valeurs dans des intervalles.
Ces intervalles sont appelés des « classes » et l'on peut calculer l'effectif de chaque classe.
On peut regrouper les employés d'une entreprise par classe de taille en centimètres.
| Taille (cm) | \left[ 150;155 \right[ | \left[ 155;160 \right[ | \left[ 160;165 \right[ | \left[ 165;170 \right[ | \left[ 170;175 \right[ | \left[ 175;180 \right] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 10 | 11 | 18 | 13 | 8 |
Le terme « valeur » peut être remplacé par « classe » dans les définitions précédentes.
Série statistique continue
Lorsque les valeurs du caractère étudié dans une série statistique sont regroupées en classes, on dit que la série est une série statistique continue.
Lorsqu'on regroupe les employés d'une entreprise par classe de taille en centimètres, on étudie une série statistique continue, telle que représentée dans le tableau suivant :
| Taille (cm) | \left[ 150;155 \right[ | \left[ 155;160 \right[ | \left[ 160;165 \right[ | \left[ 165;170 \right[ | \left[ 170;175 \right[ | \left[ 175;180 \right] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 10 | 11 | 18 | 13 | 8 |
Lorsque la série est une série continue, on ne connaît pas précisément les valeurs.
Dans la série statistique suivante, où l'on regroupe les employés d'une entreprise par classe de taille en centimètres, on ne connaît pas les tailles exactes des employés de cette entreprise :
| Taille (cm) | \left[ 150;155 \right[ | \left[ 155;160 \right[ | \left[ 160;165 \right[ | \left[ 165;170 \right[ | \left[ 170;175 \right[ | \left[ 175;180 \right] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 10 | 11 | 18 | 13 | 8 |
Les calculs statistiques
Après avoir effectué un relevé de valeurs, on cherche à les interpréter. Pour cela, on effectue des calculs statistiques pour trouver la fréquence et la moyenne.
Les fréquences
La fréquence permet de comparer le caractère fréquent d'une valeur par rapport aux autres.
Fréquence
La fréquence d'une valeur (ou d'une classe) d'une série statistique est égale à :
f = \dfrac{\text{Effectif de la valeur (ou de la classe)}}{\text{Effectif total}}
On considère la série statistique donnant le sport choisi par les douze garçons d'une classe :
| Sport choisi | Foot | Basket | Tennis | Volley |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de garçons | 4 | 3 | 3 | 2 |
La fréquence des garçons ayant choisi le basket est \dfrac{3}{12}.
Une fréquence peut être donnée en fraction réduite ou en valeur décimale (seulement si la valeur est exacte ou si l'on demande une valeur arrondie).
Dans l'exemple précédent, la fréquence des garçons ayant choisi le basket est :
\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}=0{,}25
Une fréquence est toujours un nombre compris entre 0 et 1.
Dans l'exemple précédent, la fréquence des garçons ayant choisi le basket est \dfrac{3}{12}.
On a :
\dfrac{0}{12}\leq \dfrac{3}{12}\leq \dfrac{12}{12}
Donc :
0\leq \dfrac{3}{12}\leq 1
La somme de toutes les fréquences d'une série est égale à 1.
On ajoute une ligne au tableau de la série statistique précédente pour visualiser la fréquence de chaque sport :
| Sport choisi | Foot | Basket | Tennis | Volley |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de garçons | 4 | 3 | 3 | 2 |
| Fréquence | \dfrac{4}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{2}{12} |
On a bien :
\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} + \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{4+3+3+2}{12} = \dfrac{12}{12} = 1
La moyenne
Calculer la moyenne d'une série statistique permet de comparer des séries entre elles.
Moyenne
La moyenne d'une série statistique discrète, souvent notée m, se calcule en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par l'effectif total.
On sait que dans une classe de 10 personnes, les notes à un contrôle ont été les suivantes :
« 13 ; 4 ; 8 ; 13 ; 18 ; 18 ; 15 ; 10 ; 10 ; 15 ».
On peut calculer la moyenne m des notes :
m=\dfrac{13+4+8+13+18+18+15+10+10+15}{10}
m=\dfrac{124}{10}
m=12{,}4
On peut uniquement calculer la moyenne des séries statistiques dont les valeurs sont des nombres (et pas des sports, des couleurs, etc.), c'est-à-dire des séries quantitatives.
Moyenne pondérée
On considère une série statistique discrète dont le caractère prend des valeurs x_1, x_2, [...], x_p.
Si les valeurs précédentes ont pour effectifs respectifs n_1, n_2, [...], n_p, on calcule la moyenne m :
m=\dfrac{n_1\times x_1+n_2\times x_2+...+n_p\times x_p}{n_1+n_2+...+n_p}
On dit qu'il s'agit d'une moyenne pondérée.
Chaque valeur est pondérée par son effectif.
Le tableau suivant représente la série statistique des notes de la dernière évaluation de mathématiques :
| Note | 8 | 9 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 19 |
| Effectif | 3 | 2 | 4 | 3 | 6 | 2 | 4 | 1 |
Le calcul de la moyenne s'effectue en tenant compte des effectifs.
Il s'agit d'une moyenne pondérée :
m=\dfrac{8\times 3+9\times 2+10\times 4+12\times 3+14\times 6+16\times 2+18\times 4+19\times 1}{3+2+4+3+6+2+4+1}
m=\dfrac{293}{25}
m=11{,}72
La moyenne de la classe à cette évaluation est de 11,72.
Pour les séries quantitatives continues (valeurs rangées en classes), on détermine une valeur approchée de la moyenne en remplaçant chaque classe par son centre.
Le tableau suivant représente la série statistique continue par classe de tailles en centimètres des employés d'une entreprise :
| Taille (cm) | \left[ 150;155 \right[ | \left[ 155;160 \right[ | \left[ 160;165 \right[ | \left[ 165;170 \right[ | \left[ 170;175 \right[ | \left[ 175;180 \right] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 10 | 11 | 18 | 13 | 8 |
On ne connaît pas exactement la taille des employés.
On va donc remplacer chaque classe par son centre et calculer une valeur approchée de la taille moyenne.
Le centre de \left[ 150;155 \right[ est \dfrac{150+155}{2}=\dfrac{305}{2}= 152{,}5.
Le centre de \left[ 155;160 \right[ est \dfrac{155+160}{2}=\dfrac{315}{2}= 157{,}5.
Le centre de \left[ 160;165 \right[ est \dfrac{160+165}{2}=\dfrac{325}{2}= 162{,}5.
Le centre de \left[ 165;170 \right[ est \dfrac{165+170}{2}=\dfrac{335}{2}= 167{,}5.
Le centre de \left[ 170;175 \right[ est \dfrac{170+175}{2}=\dfrac{345}{2}= 172{,}5.
Le centre de \left[ 175;180 \right] est \dfrac{175+180}{2}=\dfrac{355}{2}= 177{,}5.
Ainsi :
m\approx \dfrac{152{,}5\times 3+157{,}5\times 10+162{,}5\times 11+167{,}5\times 18+172{,}5\times 13+177{,}5\times 8}{3+10+11+18+13+8}
m\approx \dfrac{10\, 497{,}5}{63}
m\approx 166{,}627
La taille moyenne des employés de cette entreprise est de 166,627 cm.
Les différentes représentations d'une série statistique
Il y a différentes façons de représenter visuellement les valeurs d'une série statistique : les diagrammes en bâtons et en barres et les diagrammes circulaires et semi-circulaires en sont des exemples.
Le diagramme en bâtons (ou en barres)
Le diagramme en bâtons (ou en barres) représente une série statistique grâce à des bâtons ou des barres proportionnelles aux effectifs.
Diagramme en bâtons
Pour représenter une série statistique, on peut réaliser un diagramme en bâtons (ou en barres). La hauteur des bâtons (ou des barres) est proportionnelle aux effectifs.
Le diagramme en bâtons suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe.
Un diagramme en barres est un diagramme en bâtons avec des bâtons « larges ».
La série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe est représentée par le diagramme en barres suivant :
Les diagrammes circulaire et semi-circulaire
Les diagrammes circulaire et semi-circulaire permettent de comparer visuellement les fréquences des différentes valeurs. L'angle des portions (ou secteurs angulaires) est proportionnel aux effectifs.
Diagramme circulaire
Pour représenter une série statistique, on peut tracer un diagramme circulaire.
L'angle des portions (ou secteurs angulaires) est proportionnel aux effectifs.
Le diagramme circulaire suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe.
Pour obtenir la mesure de l'angle, on multiplie la fréquence de la valeur par 360 :
| Sport choisi | Foot | Basket | Tennis | Volley |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de garçons | 4 | 3 | 3 | 2 |
| Fréquence | \dfrac{4}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{2}{12} |
| Angle | \dfrac{4}{12} \times 360 = 120^\circ | \dfrac{3}{12} \times 360 = 90^\circ | \dfrac{3}{12} \times 360 = 90^\circ | \dfrac{2}{12} \times 360 = 60^\circ |
Pour obtenir la mesure de l'angle, on peut également multiplier l'effectif de la valeur par \dfrac{360}{\text{Effectif total}}.
Pour les garçons faisant du foot, le secteur angulaire correspondant possède un angle égal à 4\times\dfrac{360}{12}=120° ou \dfrac{4}{12}\times 360=120°.
Diagramme semi-circulaire
Pour représenter une série statistique, on peut tracer un diagramme semi-circulaire (demi-cercle).
L'angle des portions (ou secteurs angulaires) est proportionnel aux effectifs.
Le diagramme semi-circulaire suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe.
Pour obtenir la mesure de l'angle, on multiplie la fréquence de la valeur par 180 :
| Sport choisi | Foot | Basket | Tennis | Volley |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de garçons | 4 | 3 | 3 | 2 |
| Fréquence | \dfrac{4}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{2}{12} |
| Angle | \dfrac{4}{12} \times 180 = 60^\circ | \dfrac{3}{12} \times 180 = 45^\circ | \dfrac{3}{12} \times 180 = 45^\circ | \dfrac{2}{12} \times 180 = 30^\circ |
Pour obtenir la mesure de l'angle, on peut également multiplier l'effectif de la valeur par \dfrac{180}{\text{Effectif total}}.
Pour les garçons faisant du foot, on a ainsi 4\times\dfrac{180}{12}=60° ou \dfrac{4}{12}\times 180=60°.