Sommaire
IEtude globale d'une suiteADéfinitionBLes suites majorées, minorées, bornéesCLe sens de variationIILes suites particulièresALes suites arithmétiquesBLes suites géométriquesCLes suites arithmético-géométriques Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 05/02/2020 - Conforme au programme 2019-2020
Etude globale d'une suite
Définition
Suite numérique
Une suite numérique est une fonction de \mathbb{N} dans \mathbb{R}.
La fonction définie pour tout entier naturel n par u(n)=2n+1 est une suite.
- Pour désigner la suite u, on peut écrire \left(u_{n}\right) .
- L'écriture u_{n} désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire u\left(n\right).
Modes de génération d'une suite
Il existe trois façons de définir une suite.
1. Définition explicite
La suite \left(u_{n}\right) est définie directement par son terme général :
u_{n} = f\left(n\right)
2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur \mathbb{R} et un réel a, une suite \left(u_{n}\right) peut être définie par récurrence par son premier terme u_0=a et par, pour tout entier naturel n :
u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)
3. Définition implicite
La suite \left(u_{n}\right) est définie par une propriété géométrique, économique, etc. au sein d'un problème.
On donne :
\forall n \in\mathbb{N}^*, u_n=5n^2+\dfrac2n
La suite est définie de manière explicite.
On donne :
\begin{cases} u_0=15 \cr \cr \forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}=8u_n-12 \end{cases}
La suite est définie par récurrence.
Les suites majorées, minorées, bornées
Suite majorée
La suite \left(u_{n}\right) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n} \leq M
On définit la suite \left( u_n \right) par :
Pour tout n \in\mathbb{N}^{\star},u_n=\dfrac1n
On a, pour tout entier naturel non nul n :
\dfrac1n\leq1
Ainsi, \left( u_n \right) est majorée par 1.
Suite minorée
La suite \left(u_{n}\right) est minorée si et seulement s'il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n} \geq m
On définit la suite \left( u_n \right) par :
Pour tout n \in\mathbb{N}^{\star},u_n=\dfrac1n
On a, pour tout entier naturel non nul n :
\dfrac1n\geq0
Ainsi, \left( u_n \right) est minorée par 0.
Suite bornée
La suite \left(u_{n}\right) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
La suite \left( u_n \right) définie pour tout entier n non nul par u_n=\dfrac1n est à la fois minorée par 0 et majorée par 1. Elle est donc bornée.
Le sens de variation
Suite croissante
La suite \left(u_{n}\right) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} \geq u_{n}
Considérons la suite \left(u_n \right) définie par :
\begin{cases} u_0=12 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=\left( u_n \right)^2+u_n \end{cases}
On a, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}-u_n=\left( u_n \right)^2
Or, pour tout entier naturel n :
\left(u_n \right)^2\geq0
Donc pour tout entier naturel n :
u_{n+1}-u_n\geq0
Soit :
u_{n+1}\geq u_n
Ainsi, la suite \left(u_n \right) est croissante.
Suite strictement croissante
La suite \left(u_{n}\right) est strictement croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} \gt u_{n}
Suite décroissante
La suite \left(u_{n}\right) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} \leq u_{n}
Considérons la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n \in\mathbb{N}^*,u_n=\dfrac1n
On a, pour tout entier naturel n non nul :
u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n=\dfrac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}
Or, pour tout entier naturel n non nul :
\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}\leqslant 0
Donc, pour tout entier naturel n non nul :
u_{n+1}-u_n\leq0
Soit :
u_{n+1}\leq u_n
Ainsi, la suite \left( u_n\right) est décroissante.
Suite strictement décroissante
La suite \left(u_{n}\right) est strictement décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} \lt u_{n}
Suite constante
La suite \left(u_{n}\right) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} = u_{n}
Suite monotone
La suite \left(u_{n}\right) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).
Les suites particulières
Les suites arithmétiques
Suite arithmétique
Une suite \left(u_{n}\right) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :
u_{n+1} = u_{n} + r
On considère la suite définie par son premier terme u_0=1 et par, pour tout entier naturel n :
u_{n+1} = u_{n} - 2
On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant -2.
Cette suite est donc arithmétique.
Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique de raison r :
- Si r\gt0, la suite \left(u_n\right) est strictement croissante.
- Si r\lt0, la suite \left(u_n\right) est strictement décroissante.
- Si r=0, la suite \left(u_n\right) est constante.
Raison de la suite
Le réel r est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison -2.
Terme général d'une suite arithmétique
Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r
En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :
u_{n} = u_{0} + nr
Si \left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r=-2 et de premier terme u_0=3, alors, pour tout entier naturel n :
u_n=3-2n
Les suites géométriques
Suite géométrique
Une suite \left(u_{n}\right) est géométrique si et seulement s'il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n pour lequel elle est définie :
u_{n+1} = u_{n} \times q
On considère la suite définie par son premier terme u_0=1 et par, pour tout entier naturel n :
u_{n+1} = 3u_{n}
On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.
Cette suite est donc géométrique.
Soit q un réel strictement positif :
- Si q\gt1, la suite \left(q^n\right) est croissante.
- Si 0\lt q\lt1, la suite \left(q^n\right) est décroissante.
- Si q=1, la suite \left(q^n\right) est constante.
Raison de la suite
Le réel q est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.
Terme général d'une suite géométrique
Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}
En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :
u_{n} = u_{0} \times q^{n}
Si \left(u_n\right) est une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme u_0=3, alors pour tout entier naturel n :
u_n=3\times2^n
Limite d'une suite géométrique
Soit un réel q strictement positif :
- Si q \lt 1, alors q^n a pour limite 0
- Si 1 \lt q, alors q^n a pour limite +\infty
- Si q=1, alors q^n a pour limite 1
\lim\limits_{n \to +\infty } \left( \dfrac14 \right)^n = 0 car 0\lt\dfrac{1}{4}\lt1
\lim\limits_{n \to +\infty } 5^n = +\infty car 5\gt1
- Dire que q^n a pour limite 0 signifie que q^n est aussi proche de 0 que l'on veut dès que n est suffisamment grand.
- Dire que q^n a pour limite +\infty signifie que q^n est aussi grand que l'on veut dès que n est suffisamment grand.
Somme des premiers termes d'une suite géométrique
Soient n un entier naturel et q un réel différent de 1 :
1+q^1+...+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
On a :
1+2^1+...+2^{15}=\dfrac{1-2^{15+1}}{1-2}=2^{16}-1
Si q est un réel strictement compris entre 0 et 1, on a :
\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+q^1+...+q^n\right)=\dfrac{1}{1-q}
On a :
\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^1+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2
Les suites arithmético-géométriques
Suite arithmético-géométrique
Soient u_{0}, q et r trois réels. On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par son premier terme u_0 et par, pour tout entier naturel n :
u_{n+1} = u_{n} \times q + r
La suite \left(u_{n}\right) est appelée suite arithmético-géométrique.
On considère la suite définie par son premier terme u_0=2 et par, pour tout entier naturel n :
u_{n+1} = 5u_{n} - 1
Cette suite est arithmético-géométrique.
- Si q = 1, la suite est arithmétique de raison r.
- Si r = 0, la suite est géométrique de raison q.
Pour étudier ces suites, on utilise une suite géométrique auxiliaire fournie dans l'énoncé.