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  4. Méthode : Etudier une suite à l'aide d'une suite auxiliaire

Etudier une suite à l'aide d'une suite auxiliaire Méthode

Sommaire

1Montrer que la suite auxiliaire est arithmétique ou géométrique 2Donner le terme général de la suite auxiliaire 3En déduire le terme général de la suite

Pour déterminer l'expression du terme général d'une suite \left( u_n \right), l'énoncé invite parfois à utiliser une suite auxiliaire \left( v_n \right) définie en fonction de la suite \left( u_n \right).

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=3u_n-8 \end{cases}

On considère la suite \left( v_n \right) définie par :

\forall n\in \mathbb{N},\ v_n=u_n-4

En utilisant la suite auxiliaire \left( v_n \right), déterminer l'expression du terme général de la suite \left( u_n \right) en fonction de n.

Etape 1

Montrer que la suite auxiliaire est arithmétique ou géométrique

On exprime v_{n+1} en fonction de v_n pour déterminer si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est arithmétique ou géométrique. On précise alors sa raison et son premier terme.

Soit n un entier naturel :

v_{n+1}=u_{n+1}-4

On remplace u_{n+1} par son expression en fonction de u_n :

v_{n+1}=3u_{n}-8-4

On remplace u_n par son expression en fonction de v_n :

v_{n+1}=3\left(v_{n}+4\right)-8-4

v_{n+1}=3v_n+12-8-4

Ainsi, pour tout entier naturel n :

v_{n+1}=3v_n

La suite \left( v_n \right) est donc une suite géométrique de raison 3. Son premier terme vaut :

v_0=u_0-4=1-4=-3

Etape 2

Donner le terme général de la suite auxiliaire

On donne l'expression de v_n en fonction de n. Deux cas se présentent :

  • Si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n, v_n=v_0+nr.
  • Si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n, v_n=q^nv_0.

La suite \left( v_n \right) est géométrique de raison 3 et de premier terme v_0=-3. Donc, pour tout entier naturel n :

v_n=-3\times3^n=-3^{n+1}

Etape 3

En déduire le terme général de la suite

On remplace v_n par l'expression trouvée dans l'étape précédente dans la définition de la suite auxiliaire pour en déduire l'expression du terme général de la suite \left( u_n \right).

Pour tout entier naturel n, on a :

u_n=v_n+4

On a donc, pour tout entier naturel n :

u_n=4-3^{n+1}

Voir aussi
  • Cours : Les suites
  • Quiz : Les suites
  • Exercice : Connaître les caractéristiques des limites infinies de suites
  • Exercice : Connaître les caractéristiques des limites finies de suites
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une suite convergente
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une suite divergente
  • Exercice : Conjecturer graphiquement si une suite est convergente ou divergente
  • Exercice : Conjecturer graphiquement la limite d'une suite
  • Exercice : Compléter les limites d'une somme de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Déterminer la limite d'une somme de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Compléter les limites d'un produit de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Déterminer la limite d'un produit de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Compléter les limites d'un quotient de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Déterminer la limite d'un quotient de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Déterminer la limite d'une opération de suites dont on connaît la limite
  • Exercice : Connaître le théorème des gendarmes
  • Exercice : Déterminer la limite d'une suite à l'aide du théorème des gendarmes
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