Sommaire
1Calculer u_{n+1}-u_{n} 2Identifier l'éventuelle raison de la suite 3Conclure sur la nature de la suite Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 31/08/2020 - Conforme au programme 2024-2025
Pour déterminer l'écriture explicite d'une suite, on demande souvent de montrer qu'une suite est arithmétique, puis de déterminer son premier terme et sa raison.
On considère la suite \left( v_n \right) définie par v_0=-1, v_1=\dfrac{1}{2} et, pour tout entier naturel n, par :
v_{n+2}=v_{n+1}-\dfrac{1}{4}v_n
On considère alors \left( u_n \right) la suite définie pour tout entier naturel n :
u_n=\dfrac{v_n}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}
On admet que, pour tout entier naturel n, v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n\neq0. On veut montrer que la suite \left( u_n \right) est arithmétique et déterminer sa raison.
Calculer u_{n+1}-u_{n}
Pour tout entier naturel n, on calcule et réduit la différence u_{n+1}-u_{n}.
Soit n un entier naturel. Comme, pour tout entier naturel, v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n\neq0, on obtient :
u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_{n+1}}{v_{n+2}-\dfrac{1}{2}v_{n+1}}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}
u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_{n+1}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{4}v_n-\dfrac{1}{2}v_{n+1}}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}
u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_{n+1}}{\dfrac12v_{n+1}-\dfrac{1}{4}v_n}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}
u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_{n+1}}{\dfrac12\left(v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n\right)}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}
u_{n+1}-u_n=\dfrac{2v_{n+1}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}
u_{n+1}-u_n=\dfrac{2v_{n+1}-v_n}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}
u_{n+1}-u_n=\dfrac{2\left(v_{n+1}-\dfrac12v_n\right)}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}=2
Identifier l'éventuelle raison de la suite
On regarde, si, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_{n} est égal à une constante r (un réel fixe, c'est-à-dire indépendant de la variable n).
En posant r=2, on a bien, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}-u_{n}=r
Conclure sur la nature de la suite
Si, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_{n} est égal à une constante r, on peut conclure que la suite est arithmétique de raison r. On précise alors son premier terme.
On peut donc conclure que la suite \left( u_n \right) est une suite arithmétique de raison 2. Son premier terme vaut :
u_0=\dfrac{v_0}{v_{1}-\dfrac{1}{2}v_0}=\dfrac{-1}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=-1