Se repérer sur une droite graduée
Un repère sur une droite permet de situer les points de cette droite. On appelle « abscisse » le nombre qui permet de repérer ce point par rapport au repère d'origine de la droite.
Repère sur une droite
On appelle « repère sur une droite » la donnée d'un point, d'une unité de longueur et d'un sens sur cette droite. On donne, en général, le repère sous la forme d'un couple de points.
Le premier point est appelé « l'origine du repère ». La droite munie d'un repère est appelée « l'axe ».
La donnée du point O comme origine de la longueur OI comme unité de longueur et du sens de O vers I définit un repère sur cette droite.
La donnée d'un repère (O, I) sur une droite permet de graduer la droite en reportant l'unité de longueur choisie de part et d'autre de l'origine.
L'origine, O, correspond au nombre 0. Le point I correspond au nombre 1.
Abscisse d'un point sur une droite
Lorsqu'une droite possède un repère, on peut associer à chaque point un nombre permettant de repérer ce point sur la droite.
Ce nombre est appelé « abscisse du point sur la droite ».
Sur la droite ci-dessous munie du repère (O, I) :
- le point A a pour abscisse 3 ;
- le point B a pour abscisse -1{,}5.
Se repérer sur un plan
Lorsqu'on se place dans un plan, et notamment dans un repère orthogonal, on situe un point par son abscisse. mais aussi par son ordonnée.
Repère dans un plan
On appelle « repère dans un plan » la donnée de deux axes sécants en l'origine de chacun des axes.
On donne, en général, le repère sous la forme d'un triplet de points.
Si le repère est écrit sous la forme (O; I, J) :
- le point O est l'intersection des deux axes ;
- le premier axe admet (O, I) comme repère ;
- le deuxième axe admet (O, J) comme repère.
Le premier point est appelé « l'origine du repère ». Il s'agit de l'origine commune aux deux axes.
Repère orthogonal dans le plan
On considère le plan muni d'un repère (O; I, J).
Lorsque les deux axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, on dit que le repère est un repère orthogonal du plan.
Le repère (O; I, J) ci-dessous est tel que (OI)\perp (OJ).
C'est donc un repère orthogonal.
Coordonnées d'un point dans un repère orthogonal du plan
On considère le plan muni d'un repère orthogonal (O; I, J) et un M un point du plan.
On note H le point de la droite (OI) tel que (OI)\perp (HM) et x son abscisse sur l'axe (OI) muni du repère (O, I).
On note K le point de la droite (OJ) tel que (OJ)\perp (KM) et y son abscisse sur l'axe (OJ) muni du repère (O, J).
Le couple (x; y) constitue ce que l'on appelle « les coordonnées du point M dans le repère (O; I, J) du plan ».
Le nombre x est appelé « l'abscisse du point M dans le repère (O; I, J) ».
Le nombre y est appelé « l'ordonnée du point M dans le repère (O; I, J) ».
Dans le repère (O; I, J) ci-dessous :
- l'abscisse du point H sur l'axe (OI), muni du repère (O, I), est 2 ;
- l'abscisse du point K sur l'axe (OJ), muni du repère (O, J), est 3.
Ainsi :
- l'abscisse du point M dans le repère (O; I, J) est 2 ;
- l'ordonnée du point M dans le repère (O; I, J) est 3.
Les coordonnées du point M dans le repère (O; I, J) sont (2; 3).
Les solides
Un solide est un objet en trois dimensions. Parmi les solides de base, on retrouve le cube, le pavé droit, le cylindre de révolution, la pyramide et le cône de révolution.
Le cube
Un cube est un solide dont les six faces sont des carrés identiques.
Cube
Un cube est un polyèdre constitué de 6 faces carrées identiques.
Le polyèdre ABCDEFGH est un cube car toutes ces faces sont des carrés de côté 6 cm.
Un dé à jouer à la forme d'un cube.
Le pavé droit
Un pavé droit est un solide dont les six faces sont des rectangles.
Pavé droit
Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un polyèdre constitué de 6 faces rectangulaires.
Une boîte d'allumettes a la forme d'un pavé droit.
Un cube est un exemple de pavé droit.
Le cylindre de révolution
Le cylindre de révolution est un solide constitué de deux bases circulaires et d'une face latérale formée d'un rectangle entourant les deux bases.
Cylindre de révolution
Un cylindre de révolution est un solide constitué de :
- deux disques identiques, appelés « bases du cylindre » ;
- d'un rectangle entourant ces deux disques, appelé « face latérale du cylindre ».
De nombreuses boîtes de conserve ont la forme d'un cylindre de révolution.
La pyramide
Une pyramide est un solide constitué d'une base polygonale et dont les faces latérales sont des triangles.
Pyramide
Une pyramide est un polyèdre comportant au moins 4 faces dont :
- une face polygonale quelconque ;
- les autres faces, appelées « faces latérales », sont des triangles ayant tous un point commun, appelé « sommet de la pyramide ».
Le polyèdre ABCDEF est une pyramide de base ABCDE.
Les faces latérales sont les triangles ABF, BCF, CDF, DEF et EAF qui ont le point F en commun.
Le point F est le sommet de la pyramide.
Les pyramides égyptiennes sont celles qui ressemblent le mieux à la définition mathématique.
© Pixnio
Le cône de révolution
Le cône de révolution est un solide qui possède une base circulaire et dont la face latérale est un secteur angulaire entourant cette base.
Cône de révolution
Un cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés de son angle droit.
La base d'un cône de révolution est un disque.
La face latérale est un secteur angulaire entourant le disque.
Le triangle ABC est rectangle en A.
On fait tourner ce triangle autour du côté [AC].
Le côté [BC] génère alors un cône de révolution.
Un cône de glace a la forme d'un cylindre de révolution.
La boule
La boule est un solide qui ne possède aucune face plate : il s'agit de l'ensemble des points de l'espace compris dans le rayon d'une sphère.
Boule
La sphère de centre O et de rayon r (avec r>0) est l'ensemble des points de l'espace dont la distance au point O est égale à r.
La boule de centre O et de rayon r (avec r>0) est l'ensemble des points de l'espace dont la distance au point O est inférieure ou égale à r.
Certaines billes ont la forme d'une boule.
© pixel2013 via Pixnio
Les perspectives cavalières et patrons du pavé droit et du cylindre de révolution
Il existe de nombreuses façons de représenter les solides tels que le pavé droit et le cylindre de révolution. On distingue la perspective cavalière et les patrons.
La perspective cavalière
La perspective cavalière permet de visualiser une figure en trois dimensions à plat.
Lorsqu'on représente un solide en perspective cavalière :
- les droites parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin ;
- les arêtes visibles en réalité sont tracées en continu ;
- les arêtes cachées en réalité sont tracées en pointillé.
Voici une représentation en perspective cavalière du pavé droit ABCDEFGH :
Voici une représentation en perspective cavalière d'un cylindre de révolution :
Les patrons
Les patrons sont des représentations permettant de construire le solide, lorsque c'est possible.
Le patron d'un pavé droit est une représentation à plat, que l'on obtient en le dépliant suivant ses faces.
Il est toujours formé de trois rectangles qui apparaissent deux fois chacun, c'est-à-dire de six rectangles. Ces rectangles correspondent aux faces du pavé droit. Elles ne peuvent comporter une arête commune sur le patron que si elles ont une arête commune sur le pavé.
Un pavé droit possède différents patrons.
Le patron d'un cylindre de révolution est une représentation à plat, que l'on obtient en le dépliant suivant ses faces.
Il est constitué d'un rectangle correspondant à la face latérale du cylindre et des deux disques de base.
Une des dimensions du rectangle est la hauteur du cylindre. L'autre dimension est le périmètre des disques de base.
Un cylindre de révolution possède différents patrons. Ils se ressemblent beaucoup : la seule différence réside dans la position des disques.
Voici deux patrons d'un même cylindre :
