Décider si un échantillon est représentatif d'une population de départ Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

On sait qu'en France, 42% de la population est de groupe sanguin O.

On considère un échantillon de 200 personnes dans cette population et on note X le nombre étant de groupe sanguin O. On note F = \dfrac{X}{200} la fréquence des personnes de groupe sanguin dans l'échantillon.

Quelle loi suit la variable aléatoire X ?

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=200 et p=0{,}42.

X suit donc une loi normale de paramètres n=200 et p=0{,}58.

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=200 et p=0{,}58.

X suit donc une loi normale de paramètres n=200 et p=0{,}42.

L'expérience "donner le groupe sanguin d'une personne" a deux issues possibles :

Succès : l'individu est de groupe sanguin O, obtenu avec la probabilité p = 0{,}42.
Echec : l'individu n'est pas de groupe sanguin O, obtenu avec la probabilité q = 1-p = 0{,}58.

Cette expérience est répétée 200 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=200 et p=0{,}42.

Pourquoi peut-on donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence F ?

n=200 donc n \geq 30
np = 200 \times 0{,}42 = 84 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 200 \times 0{,}58 = 116 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=200 donc n \geq 30
np = 200 \times 4{,}2 = 840 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 200 \times 0{,}58 = 116 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=200 donc n \geq 30
np = 200 \times 0{,}42 = 84 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 200 \times 0{,}058 = 11{,}6 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=200 donc n \geq 30
np = 200 \times 0{,}42 = 84 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 200 \times 5{,}8 = 1\ 160 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

D'après le cours on sait qu'on peut déterminer un intervalle de fluctuation si les conditions suivantes sont satisfaites :

n \geq 30
np \geq 5
n\left(1-p\right) \geq 5

Ici, on a :

n=200 donc n \geq 30
np = 200 \times 0{,}42 = 84 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 200 \times 0{,}58 = 116 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation de la fréquence F au seuil de 95% ?

I = \left[ 0, 352 ; 0,488 \right]

I = \left[ 0, 425 ; 0{,}478 \right]

I = \left[ 0, 752 ; 0{,}853 \right]

I = \left[ 0, 231 ; 0{,}423 \right]

D'après le cours, un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence vaut :

I = \left[ p-1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n};p+1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n} \right]

Ici, on a p = 0{,}42 et n = 200.

Donc on obtient :

I = \left[ 0{,}42-1{,}96 \dfrac{\sqrt{0{,}42\left(1-0{,}42\right)}}{\sqrt{200}};0{,}42+1{,}96 \dfrac{\sqrt{0{,}42\left(1-0{,}42\right)}}{\sqrt {200}} \right]

Et, après calculs :

I = \left[ 0, 352 ; 0{,}488 \right]

L'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence au seuil de 95% vaut I = \left[ 0, 352 ; 0{,}488 \right].

Sur les 200 individus de l'échantillon, 72 sont de groupe sanguin O.

Cet échantillon est-il représentatif ?

Au risque de 5%, on peut affirmer que cet échantillon est représentatif de la population.

Au risque de 5%, on peut affirmer que cet échantillon n'est pas représentatif de la population.

Au risque de 5%, on ne peut pas conclure

Sur les 200 individus de l'échantillon, 72 sont de groupe sanguin O. On a donc une fréquence de :

F = \dfrac{72}{200}= 0{,}36.

Or la fréquence F fluctue à 95% dans l'intervalle I= \left[ 0, 352; 0{,}488 \right].

On a 0{,}36 \in I.

On peut conclure, au risque d'erreur de 5%, que cet échantillon est représentatif de la population.