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  4. Méthode : Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique

Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique Méthode

Sommaire

1Vérifier que les conditions sont vérifiées 2Donner l'intervalle de fluctuation

On dispose d'une population dans laquelle la fréquence d'apparition d'un caractère c est p. On prélève dans cette population un échantillon de taille n (la population est de taille suffisante pour considérer que les tirages sont indépendants). Le nombre de personnes de l'échantillon présentant le caractère c suit donc une loi binomiale de paramètres n et p.

D'après le théorème de Moivre-Laplace, on peut alors donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence d'apparition du caractère dans l'échantillon de taille n.

Une proportion p=46 % de la population d'un pays vote lors d'une élection pour le candidat A. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de vote pour le candidat A sur un échantillon de 100 habitants.

Etape 1

Vérifier que les conditions sont vérifiées

On identifie n la taille de l'échantillon, et p la fréquence du caractère dans la population, puis on vérifie que les trois conditions suivantes sont remplies :

  • n\geqslant 30
  • np\geqslant 5
  • n\left(1-p\right)\geqslant 5

On a ici n=100 et p=0{,}46. On a ainsi :

  • n\geqslant 30
  • np=46, donc np\geqslant5
  • n\left(1-p\right)=100\times0{,}54=54, donc n\left(1-p\right)\geqslant 5
Etape 2

Donner l'intervalle de fluctuation

D'après le cours, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence d'apparition du caractère dans l'échantillon de taille n est :

I=\left[p-1{,}96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}};p+1{,}96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}}\right]

Plus généralement, si l'on cherche l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \left(1-\alpha\right) %, on détermine grâce à la calculatrice la valeur \mu_{\alpha} vérifiant p\left(-\mu_{\alpha}\leqslant Z\leqslant\mu_{\alpha}\right)=1-\alpha, où Z suit une loi normale centrée réduite. L'intervalle I cherché est alors :

I=\left[p-\mu_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}};p+\mu_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}}\right]

D'après le cours, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de vote pour le candidat A est :

I=\left[p-1{,}96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}};p+1{,}96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}}\right]

I=\left[0{,}46-1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}46\left(1-0{,}46\right)}}{\sqrt{100}};0{,}46+1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}46\left(1-0{,}46\right)}}{\sqrt{100}}\right]

On obtient :

I=\left[0{,}362;0{,}558\right]

Voir aussi
  • Cours : Intervalle de fluctuation et estimation
  • Quiz : Intervalle de fluctuation et estimation
  • Méthode : Approcher une loi binomiale par une loi normale
  • Méthode : Estimer une proportion à l'aide d'un intervalle de confiance
  • Méthode : Décider si un échantillon est représentatif d'une population de départ
  • Méthode : Valider ou rejeter une hypothèse portant sur une proportion
  • Exercice : Appliquer le théorème de Moivre-Laplace
  • Exercice : Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique
  • Exercice : Estimer une proportion à l'aide d'un intervalle de confiance
  • Exercice : Décider si un échantillon est représentatif d'une population de départ
  • Exercice : Valider ou rejeter une hypothèse portant sur une proportion

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