Soit X, une variable aléatoire suivant la loi binomiale B\left(400 ; 0{,}25\right).
Quelles sont les valeurs de E\left(X\right), V\left(X\right) et \sigma \left(X\right) ?
X suit une loi binomiale de paramètres n = 400 et p = 0{,}25, donc d'après le cours :
- E\left(X\right) = np = 400 \times 0{,}25 = 100
- V\left(X\right) = np\left(1-p\right) = 400 \times 0{,}25 \times \left(1-0{,}25\right)= 75
- \sigma \left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)} = \sqrt{75} \approx 8{,}66
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une valeur approchée de p\left( 88 \leq X \leq 150 \right) ?
On sait que, si X suit une loi binomiale :
p\left( 88 \leq X \leq 150 \right)=p\left(X=88\right)+p\left(X=89\right) + ... + p\left(X=150\right)=p\left( X \leq 150 \right)-p\left( X \leq 87 \right)
On obtient donc, à l'aide de la calculatrice :
p\left( 88 \leq X \leq 150 \right) \approx 0{,}927
Quelle proposition justifie correctement que l'on peut utiliser le théorème de Moivre-Laplace pour cette loi ?
Les trois conditions à vérifier pour utiliser le théorème de Moivre-Laplace sont n \geq 30, np \geq 5 et n\left(1-p\right) \geq 5.
Ici on a :
- n = 400 donc n \geq 30
- np = 100 donc np \geq 5
- n\left(1-p\right)=300 donc n\left(1-p\right) \geq 5
Les conditions sont vérifiées pour appliquer le théorème de Moivre-Laplace.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une valeur approchée de p\left( 88 \leq X \leq 150 \right) ?
X suit une loi binomiale B\left(400 ; 0{,}25\right).
On peut utiliser le théorème de Moivre-Laplace :
Pour tout réel a et b, a \lt b, on a :
p\left( a \lt \dfrac{X -E\left(X\right)}{\sigma\left(X\right)} \lt b\right) \approx p\left( a \leq Z \leq b \right) avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.
On utilise ce théorème pour approximer p\left( 88 \leq X \leq 150 \right).
On sait que :
- E\left(X\right)=100
- \sigma\left(X\right)=8{,}66
On a :
p\left( 88 \leq X \leq 150 \right) = p\left( \dfrac{88-100}{8{,}66} \leq \dfrac{X-100}{8{,}66} \leq \dfrac{150-100}{8{,}66} \right)
C'est-à-dire :
p\left( 88 \leq X \leq 150 \right) = p\left( \dfrac{88-100}{8{,}66} \leq \dfrac{X-E\left(X\right)}{\sigma\left(X\right)} \leq \dfrac{150-100}{8{,}66} \right)
Ainsi, si Z suit la loi normale centrée réduite, d'après le théorème de Moivre-Laplace :
p\left( 88 \leq X \leq 150 \right) \approx p\left( \dfrac{88-100}{8{,}66} \leq Z \leq \dfrac{150-100}{8{,}66} \right)
p\left( 88 \leq X \leq 150 \right) \approx p\left( -1{,}39 \leq Z \leq 5{,}77 \right)
La calculatrice donne :
p\left( -1{,}39 \leq Z \leq 5{,}77 \right) \approx 0{,}91\ 773
Remarque : on avait trouvé à la question 2), p\left(88 \leq X \leq 150\right) \approx 0{,}927.
A l'aide de la loi normale centrée réduite, on trouve p\left( 88 \leq X \leq 150 \right)\approx0{,}91\ 773.